Kratek opis predmeta

Teorija upodobitev se ukvarja z linearizacijo abstraktnih objektov, predvsem grup in njihovih delovanj. Gre za klasično in dobro raziskano vejo matematike, ki ima številne uporabe tudi v drugih znanostih. Dva pomembna cilja, ki ju ta teorija doseže, sta naslednja.

1. Namesto abstraktne obravnave dano grupo na različne načine uresničimo z obrnljivimi matrikami, kar nam z močnimi orodji linearne algebre omogoča bolj transparenten študij njihovih lastnosti. Tukaj nas zanimajo predvsem najenostavnejši načini predstavitev grup z matrikami.

   Zgled 1. Opazujmo diedrsko grupo \(D_{2n} = \langle s, r \rangle\), v kateri je \(s^2 = 1\), \(r^n = 1\) in \(s r s = r^{-1}\). Ta abstraktna grupa izhaja iz simetrij \(n\)-kotnika v ravnini, s čimer lahko uresničimo njena generatorja \(s,r\) kot matriki \[s \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad r \mapsto \begin{pmatrix} \cos(2 \pi/n) & - \sin(2 \pi/n) \\ \sin(2 \pi/n) & \cos(2 \pi/n) \end{pmatrix}\] in torej poljuben element \(D_{2n}\) kot matriko v \(\mathop{\mathrm{GL}}_2(\mathbf{R})\).

2. Mnoge situacije, kjer se pojavljajo grupe prek svojih delovanj, lahko lineariziramo in to linearno strukturo razstavimo na enostavne komponente, ki jih razumemo s pomočjo prejšnje točke.

   Zgled 2. Opazujmo simetrično grupo \(S_n\), ki naravno deluje na množici \(\{ 1, 2, \dots, n \}\) s permutacijami. Temu delovanju lahko priredimo vektorski prostor z bazo \(\{ e_1, e_2, \dots, e_n \}\). Permutaciji \(\sigma \in S_n\) lahko v tej bazi priredimo permutacijsko matriko v \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\), ki vektor \(e_i\) preslika v \(e_{\sigma(i)}\). Na ta način lahko uresničimo naravno delovanje simetrične grupe \(S_n\) znotraj matrične grupe \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\).

Pri predmetu bomo najprej vzpostavili temelje teorije upodobitev (osnovne definicije in zgledi, fundamentalne konstrukcije upodobitev). Pokazali bomo, kako se lahko vsaki konkretni upodobitvi približamo, kot da bi jo pogledali pod mikroskopom (videli bomo, da je vsaka sestavljena iz celic, vsaka celica pa iz organelov). Za tem si bomo ogledali dobro razvito teorijo upodobitev končnih grup (tu bomo pod mikroskopom videli in razumeli čudovito strukturo s pomočjo Fourierove transformacije), podrobneje bomo raziskali upodobitve dveh temeljnih družin končnih grup (simetrične grupe in splošne linearne grupe nad končnim poljem). Ta teorija ima mnogo aplikacij, od katerih bomo izpostavili nekaj sodobnejših (v teoriji števil, kombinatoriki, slučajnih procesih na grupah). Nazadnje bomo obravnavali še nekaj zgledov upodobitev pomembnih družin neskončnih grup (kompaktne grupe ter linearne grupe, zvezne in diskretne).

Literatura

Pri predstavitvi temeljev teorije upodobitev uporabljamo jezik homomorfizmov grup (in ne modulov), tako da porabimo več časa za osnove, a je snov predstavljena bolj konkretno. To pride prav predvsem pri razstavljanju dane upodobitve na nerazcepne podupodobitve, kjer sledimo pristopu Kowalskega in opazujemo matrične koeficiente. Karakterje obdelamo v jeziku nekomutativne Fourierove transformacije kot Diaconis. S tem tudi pripravimo teren za kasnejše aplikacije teorije upodobitev. Omenimo kolobar virtualnih karakterjev in kot Serre dokažemo Artinov izrek. Razširjena zgleda upodobitev simetričnih grup in splošnih linearnih grup nad končnim poljem pretežno izvedemo s pomočjo monografije Fultona in Harrisa. Pri upodobitvah simetrične grupe določene aspekte izrazimo s Fourierovo transformacijo, pri linearnih grupah pa sledeč Bushnell in Henniart nekoliko bolj naravno predstavimo ostne upodobitve. V aplikacijah teorije upodobitev predstavimo Rothov izrek po Gowersovo in raziščemo soroden problem za nekomutativne grupe, kjer analitične argumente napravimo kot Eberhard. Pri prepoznavanju komutatorjev nam prav pridejo razvita Fourierova orodja, slučajne sprehode pa raziščemo podobno kot Diaconis. Kompaktne grupe in povezavo s klasično Fourierovo analizo črpamo iz Kowalskega, upodobitve Liejevih grup pa prikažemo kot Fulton in Harris, pri čemer se za integriranje Liejevih homomorfizmov naslonimo na Hallovo knjigo. Diskretne grupe obdelamo sledeč Conradu in Putmanu, razliko med klasičnimi in \(p\)-adičnimi Liejevimi grupami prikažemo kot Choiy.

• E. Kowalski, An Introduction to the Representation Theory of Groups, American Mathematical Society, 2014.

• P. Diaconis, Group representations in probability and statistics, Lecture notes - monograph series 11, i-192, 1988.

• J. P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer GTM 42, 1977.

• W. Fulton, J. Harris, Representation Theory: A First Course, Springer GTM 129, 2004.

• C. J. Bushnell, G. Henniart, The Local Langlands Conjecture for \(\mathop{\mathrm{GL}}(2)\), Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 335, 2006.

• W. T. Gowers, Generalizations of Fourier analysis, and how to apply them, Bulletin of the American Mathematical Society 54, 1-44 (2017).

• S. Eberhard, Product mixing in the alternating group, Discrete Analysis, 2-18 (2016).

• B. C. Hall, Lie groups, Lie algebras, and representations, Quantum Theory for Mathematicians, Springer, New York, NY, 2013.

• K. Conrad, \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\).

• A. Putman, The representation theory of \(\mathop{\mathrm{SL}}_n(\mathbf{Z})\).

• K. Choiy, A note on the image of continuous homomorphisms of locally profinite groups.

Zahvala

Zapiske sem v največji meri pripravil med izvajanjem predmeta na magistrskem študiju matematike na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani v letu 2022/23. Zahvaljujem se študentom, ki so obiskovali predavanja in med spremljanjem opozarjali na vsebinske pomanjkljivosti. Zapiske sta še posebej podrobno pregledala študenta Hana Ibrahimpašić in Daniel Vitas. Zahvaljujem se jima za mnoge koristne pripombe.

Temelji teorije upodobitev

V tem poglavju bomo vzpostavili temelje teorije upodobitev. Spoznali bomo koncept upodobitve in si ogledali mnogo primerov. Premislili bomo, kako upodobitve med sabo primerjamo in kako iz danih upodobitev sestavimo nove.

Osnovni pojmi

Upodobitve grup

Naj bo \(G\) grupa in \(V\) vektorski prostor nad poljem \(F\). Upodobitev grupe \(G\) na prostoru \(V\) je delovanje \(G\) na množici \(V\), ki upošteva dodatno strukturo množice \(V\), namreč to, da je vektorski prostor. Natančneje, upodobitev (rekli bomo tudi linearno delovanje) grupe \(G\) na prostoru \(V\) je homomorfizem grup \[\rho \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}(V).\] Pri tem razsežnosti prostora \(V\) rečemo stopnja upodobitve in jo označimo z \(\deg(\rho)\).

Ko v prostoru \(V\) izberemo bazo in torej izomorfizem \(V \cong F^{\deg(\rho)}\), lahko upodobitev \(\rho\) enakovredno zapišemo kot homomorfizem \[\rho \colon G \to \textstyle \mathop{\mathrm{GL}}_{\deg(\rho)}(F)\] iz grupe \(G\) v obrnljive matrike razsežnosti \(\deg(\rho)\) nad \(F\).

Nad poljem kompleksnih števil \(F = \mathbf{C}\) upodobitvam rečemo kompleksne, nad polji karakteristike \(p > 0\), na primer \(F = \mathbf{F}_p\), pa upodobitvam rečemo modularne.

Za element \(g \in G\) in vektor \(v \in V\) rezultat delovanja elementa \(g\) na vektorju \(v\), se pravi \(\rho(g)(v)\), včasih pišemo krajše kot \(g \cdot v\) ali kar \(gv\).

Upodobitev \(\rho\) grupe \(G\) pohvalimo s pridevnikom zvesta, kadar je injektivna, se pravi \(\ker \rho = 1\). Trivialna upodobitev netrivialne grupe ni zvesta, sta pa vselej zvesti Cayleyjeva in desna regularna upodobitev.

Kategorija upodobitev

Naj bo \(G\) grupa. Opazujmo neki njeni upodobitvi \(\rho_1\) in \(\rho_2\) nad vektorskima prostoroma \(V_1\) in \(V_2\), obema nad poljem \(F\). Ti dve upodobitvi lahko primerjamo med sabo, in sicer tako, da hkrati primerjamo vektorska prostora in delovanji grupe \(G\) na teh dveh prostorih.

Natančneje, spletična² med upodobitvama \(\rho_1\) in \(\rho_2\) je linearna preslikava \(\Phi \colon V_1 \to V_2\), za katero za vsak \(g \in G\) in \(v \in V_1\) velja³ \[\Phi(\rho_1(g) \cdot v) = \rho_2(g) \cdot \Phi(v).\]

Množica vseh spletičen med \(\rho_1\) in \(\rho_2\) je podmnožica množice linearnih preslikav \(\hom(V_1, V_2)\), za katero uporabimo oznako \(\hom_G(\rho_1, \rho_2)\) ali kar \(\hom_G(V_1, V_2)\).

Za dano upodobitev \(\rho\) grupe \(G\) na vektorskem prostoru \(V\) je identična preslikava \(\mathop{\mathrm{id}}_V\) seveda spletična med \(\rho\) in \(\rho\). Prav tako lahko vsaki dve spletični \(\Phi_1\) med \(\rho_1\) in \(\rho_2\) ter \(\Phi_2\) med \(\rho_2\) in \(\rho_3\) skomponiramo do spletične \(\Phi_2 \circ \Phi_1\) med \(\rho_1\) in \(\rho_3\). Množica vseh upodobitev dane grupe \(G\) nad poljem \(F\) torej tvori kategorijo upodobitev, katere objekti so upodobitve grupe \(G\) nad \(F\), morfizmi pa so spletične med upodobitvami. To kategorijo označimo z \(\mathop{\mathrm{Rep}}_G\).

Izomorfnost upodobitev

Kadar je spletična \(\Phi \colon V_1 \to V_2\) med \(\rho_1\) in \(\rho_2\) obrnljiva kot linearna preslikava, je tudi njen inverz \(\Phi^{-1}\) spletična med \(\rho_2\) in \(\rho_1\). V tem primeru spletični \(\Phi\) rečemo izomorfizem upodobitev \(\rho_1\) in \(\rho_2\).

Eden pomembnih ciljev teorije upodobitev je razumeti vse upodobitve dane grupe do izomorfizma natančno. Kasneje bomo spoznali, kako lahko to v določenih⁶ primerih precej dobro uresničimo.

Fundamentalne konstrukcije

Naj bo \(\rho\) upodobitev grupe \(G\) na prostoru \(V\) nad poljem \(F\). Premislili bomo, kako lahko prostor, grupo ali polje modificiramo na različne načine in tako dobimo neko drugo, novo upodobitev, oziroma kako lahko dano upodobitev vidimo kot rezultat kakšne od teh fundamentalnih konstrukcij.

Podupodobitve

Naj bo \(G\) grupa z upodobitvijo \(\rho \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}(V)\). Denimo, da obstaja vektorski podprostor \(W \leq V\), ki je invarianten za delovanje grupe \(G\), se pravi \(g \cdot w \in W\) za vsak \(g \in G\), \(w \in W\). V tem primeru upodobitev \(\rho\) inducira upodobitev \(\tilde \rho \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}(W)\) in vložitev vektorskih prostorov \(\iota \colon W \to V\) je spletična. Upodobitvi \(\tilde \rho\) rečemo podupodobitev upodobitve \(\rho\).

Jedro, slika, kvocient

Naj bo \(G\) grupa z upodobitvijo \(\rho\) na prostoru \(V\). Ogledali smo si že, kako za vsak \(G\)-invarianten podprostor \(W \leq V\) dobimo podupodobitev upodobitve \(\rho\). Sorodno lahko za vsak \(G\)-invarianten podprostor \(W \leq V\) tvorimo kvocient \(V/W\), na njem linearno deluje grupa \(G\) s predpisom \[G \to \mathop{\mathrm{GL}}(V/W), \quad g \mapsto \left( v + W \mapsto \rho(g) \cdot v + W \right)\] za \(v \in V\).

Na vse do zdaj omenjene konstrukcije lahko gledamo na skupen način, in sicer s pomočjo spletične \(\Phi\), ki vlaga prostor \(W\) v \(V\). Ni težko preveriti, da so standardne konstrukcije, ki jih lahko uporabimo na spletičnah vektorskih prostorov, na naraven način opremljene z linearnim delovanjem grupe \(G\).

Direktna vsota

Naj ima grupa \(G\) družino upodobitev \(\{ \rho_i \}_{i \in I}\) na vektorskih prostorih \(\{ V_i \}_{i \in I}\). Tedaj lahko tvorimo direktno vsoto vektorskih prostorov \(\bigoplus_{i \in I} V_i\), ki je opremljena z linearnim delovanjem \[\bigoplus_{i \in I} \rho_i \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}(\bigoplus_{i \in I} V_i), \quad g \mapsto \left( \sum_{i \in I} v_i \mapsto \sum_{i \in I} \rho_i(g) \cdot v_i \right).\] Na ta način dobimo direktno vsoto upodobitev \(\bigoplus_{i \in I} \rho_i\). Pri tem je vsaka od upodobitev \(\rho_i\) podupodobitev te direktne vsote.

Direktna vsota je najbolj preprost način, kako lahko iz danih upodobitev sestavimo novo upodobitev. V nadaljevanju bomo zato veliko časa posvetili obratnemu problemu: dano upodobitev bomo kot v zadnjem zgledu skušali razstaviti na direktno vsoto čim bolj enostavnih podupodobitev.

Tenzorski produkt

Naj ima grupa \(G\) upodobitvi \(\rho_1\) in \(\rho_2\) na prostorih \(V_1\) in \(V_2\). Tedaj lahko tvorimo tenzorski produkt vektorskih prostorov \(V_1 \otimes V_2\), ki je naravno opremljen z linearnim delovanjem \[\rho_1 \otimes \rho_2 \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}(V_1 \otimes V_2), \quad g \mapsto \left( v_1 \otimes v_2 \mapsto \rho_1(g) v_1 \otimes \rho_2(g) v_2 \right).\]

Naj ima grupa \(G\) upodobitev na prostoru \(V\). Tedaj lahko tvorimo tenzorske potence \(V^{\otimes n}\) za \(n \in \mathbf{N}_0\). Vsaka od teh tvori upodobitev grupe \(G\). Na prostoru \(V^{\otimes n}\) deluje simetrična grupa \(S_n\), in sicer na dva načina. Prvi način izhaja iz permutacijske upodobitve grupe \(S_n\), in sicer dobimo delovanje \[\pi \colon S_n \to \mathop{\mathrm{GL}}(V^{\otimes n}), \quad \sigma \mapsto \left( v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_n \mapsto v_{\sigma(1)} \otimes v_{\sigma(2)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)} \right).\] Drugi način delovanja grupe \(S_n\) na tenzorski potenci pa je \(\mathop{\mathrm{sgn}}\otimes \pi\), pri katerem delovanje \(\pi\) še utežimo s predznakom delujoče permutacije. Prostor koinvariant upodobitve \(\pi\) je \[{\textstyle \mathop{\mathrm{Sym}}^n(V)} = \frac{V^{\otimes n}}{ \left\langle v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_n - v_{\sigma(1)} \otimes v_{\sigma(2)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)} \mid v_i \in V, \ \sigma \in S_n \right\rangle },\] imenujemo ga simetrična potenca upodobitve \(G\) na \(V\). Analogno prostor koinvariant upodobitve \(\mathop{\mathrm{sgn}}\otimes \pi\) označimo z \(\bigwedge^n(V)\) in imenujemo alternirajoča potenca. Obe potenci sta seveda upodobitvi grupe \(G\). Vse potence hkrati zajamemo z direktnima vsotama \[\textstyle \mathop{\mathrm{Sym}}(V) = \bigoplus_{n \in \mathbf{N}_0} \mathop{\mathrm{Sym}}^n(V) \quad \text{in} \quad \bigwedge V = \bigoplus_{n \in \mathbf{N}_0} \textstyle\bigwedge^n(V).\]

Dual

Naj bo \(G\) grupa z upodobitvijo \(\rho\) na prostoru \(V\) nad poljem \(F\). Tvorimo lahko dualen prostor \(V^* = \hom(V, F)\), ki je naravno opremljen z linearnim delovanjem \[\rho^* \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}(V^*), \quad g \mapsto \left( \lambda \mapsto \left( v \mapsto \lambda(\rho(g^{-1}) \cdot v) \right) \right)\] za \(\lambda \in V^*, \ v \in V\). Na ta način dobimo dualno upodobitev \(\rho^*\) upodobitve \(\rho\).

Za funkcional \(\lambda \in V^*\) in vektor \(v \in V\) včasih uporabimo oznako \(\langle \lambda, v \rangle\) za aplikacijo \(\lambda(v)\). S to oznako lahko zapišemo definicijo dualne upodobitve kot \[\langle \rho^*(g) \cdot \lambda, v \rangle = \langle \lambda, \rho(g^{-1}) \cdot v \rangle.\]

Naj bo zdaj \(G\) grupa z dvema upodobitvama \(\rho\) in \(\sigma\) na prostorih \(V\) in \(W\). Prostor linearnih preslikav \(\hom(V,W)\) je naravno opremljen z linearnim delovanjem \[\hom(\rho, \sigma) \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}(\hom(V,W)), \quad g \mapsto \left( \Phi \mapsto \left( v \mapsto \sigma(g) \cdot \Phi \cdot \rho(g^{-1}) \cdot v \right) \right).\] Invariante tega delovanja sestojijo iz linearnih preslikav, ki so invariantne glede na predpisano delovanje grupe \(G\), se pravi ravno iz spletičen med \(\rho\) in \(\sigma\). S simboli je torej \(\hom(V,W)^G = \hom_G(V,W)\).

Skalarji

Naj bo \(G\) grupa z upodobitvijo \(\rho\) na prostoru \(V\) nad poljem \(F\). Naj bo \(E\) razširitev polja \(F\). Tedaj je prostor \(E \otimes V\) naravno opremljen z linearnim delovanjem \[E \otimes \rho \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}(E \otimes V), \quad g \mapsto \left( e \otimes v \mapsto e \otimes \rho(g) \cdot v \right).\] Ta postopek konstrukcije prostora \(E \otimes V\) imenujemo razširitev skalarjev. Dano upodobitev lahko razširimo do ugodnejših skalarjev¹⁴, lahko pa tudi dano upodobitev nad velikim poljem \(E\) gledamo kot razširitev skalarjev neke upodobitve nad preprostejšim poljem \(F\).¹⁵ V tem slednjem primeru rečemo, da je dana upodobitev definirana nad poljem \(F\). Včasih nam uspe najti celo preprost podkolobar polja \(F\), nad katerim je definirana dana upodobitev.

Kadar imamo opravka s konkretnim poljem \(F\), lahko dano upodobitev modificiramo tudi z avtomorfizmi polja. Te si najlažje predstavljamo po izbiri baze vektorskega prostora. Če je \(\sigma \in \mathop{\mathrm{Aut}}(F)\), dobimo iz dane upodobitve \(\rho \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}_n(F)\) modificirano upodobitev \[\rho^\sigma \colon G \to {\textstyle \mathop{\mathrm{GL}}_n(F)}, \quad g \mapsto \rho(g)^\sigma,\] pri kateri vsak člen matrike \(\rho(g)\) preslikamo z avtomorfizmom \(\sigma\).

Restrikcija

Naj bo \(G\) grupa z upodobitvijo \(\rho \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}(V)\). Kadar je na voljo še ena grupa \(H\) s homomorfizmom \(\phi \colon H \to G\), lahko upodobitev \(\rho\) sklopimo s \(\phi\) in dobimo upodobitev \(\rho \circ \phi\) grupe \(H\) na prostoru \(V\). Temu postopku pridobivanja upodobitev grupe \(H\) iz upodobitev grupe \(G\) pravimo restrikcija, pri tem pa novo upodobitev \(\rho \circ \phi\) označimo kot \(\mathop{\mathrm{Res}}^G_H(\rho)\). Predstavljamo si, da smo upodobitev \(\rho\) potegnili nazaj vzdolž homomorfizma \(\phi\). Restrikcija je funktor iz kategorije \(\mathop{\mathrm{Rep}}_G\) v kategorijo \(\mathop{\mathrm{Rep}}_H\).

Kadar imamo na voljo tri grupe, povezane s homomorfizmoma \(\phi_2 \colon H_2 \to H_1\) in \(\phi_1 \colon H_1 \to G\), lahko restrikcijo izvedemo dvakrat zaporedoma. Upodobitvi \(\rho\) v \(\mathop{\mathrm{Rep}}_G\) tako priredimo upodobitev \(\mathop{\mathrm{Res}}^{H_1}_{H_2}(\mathop{\mathrm{Res}}^G_{H_1}(\rho))\) v \(\mathop{\mathrm{Rep}}_{H_2}\). Od grupe \(H_2\) do \(G\) imamo neposredno povezavo prek homomorfizma \(\phi_1 \circ \phi_2\), s čimer dobimo upodobitev \(\mathop{\mathrm{Res}}^G_{H_2}(\rho)\). Ni težko preveriti, da sta dobljeni upodobitvi izomorfni. Tej lastnosti restrikcije pravimo tranzitivnost.

Indukcija

Naj bo kot zgoraj \(G\) grupa in \(H\) še ena grupa s homomorfizmom \(\phi \colon H \to G\). Indukcija je postopek, ki s pomočjo homomorfizma \(\phi\) upodobitvi \(\rho\) grupe \(H\) priredi upodobitev grupe \(G\). Indukcija torej deluje ravno v obratno smer kot restrikcija in nam omogoča, da upodobitev \(\rho\) potisnemo naprej vzdolž homomorfizma \(\phi\). Ta postopek je nekoliko bolj zapleten kot restrikcija.

Začnimo z upodobitvijo \(\rho \colon H \to \mathop{\mathrm{GL}}(V)\). Konstruirali bomo prostor, na katerem deluje grupa \(G\). Odskočna deska za to bo regularna upodobitev grupe \(G\), katere vektorski prostor je prostor funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\). Ta prostor razširimo s prostorom \(V\) do prostora funkcij \[\mathop{\mathrm{fun}}(G,V) = \{ f \mid f \colon G \to V \},\] na katerem linearno deluje grupa \(G\) z analogom regularne upodobitve, in sicer kot \[g \cdot f = \left( x \mapsto f(xg) \right)\] za \(g \in G, \ f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,V)\). Po drugi strani na tej množici deluje tudi grupa \(H\), in sicer na dva načina: prvič prek homomorfizma \(\phi\) in pravkar opisanega delovanja grupe \(G\), drugič pa prek svojega delovanja \(\rho\) na prostoru \(V\). Ko ti dve delovanji združimo, dobimo delovanje grupe \(H\) na prostoru funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,V)\) s predpisom \[h \cdot f = \left( x \mapsto \rho(h) \cdot f \left( \phi(h^{-1}) \cdot x \right) \right)\] za \(h \in H, \ f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,V)\).¹⁶ Opazujmo invariantni podprostor \[\mathop{\mathrm{fun}}(G, V)^H = \left\{ f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,V) \mid \forall h \in H, x \in G. \ \rho(h) \cdot f(x) = f \left(\phi(h) \cdot x\right)\right\}.\] Ker grupa \(G\) deluje na \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,V)\) prek množenja z desne, pogoj pripadnosti invariantam \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,V)^H\) pa je izražen prek množenja z leve, je podprostor \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,V)^H\) avtomatično \(G\)-invarianten. S tem smo dobili upodobitev grupe \(G\) na prostoru \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,V)^H\). To je želena inducirana upodobitev. Zanjo uporabimo oznako \(\mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(\rho)\).

Inducirano upodobitev \(\mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(\rho) = \mathop{\mathrm{fun}}(G,V)^H\) smo konstruirali z invariantami grupe \(H\). To pomeni, da vektorji v tem prostoru niso poljubne funkcije v \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,V)\), temveč zadoščajo določenim restriktivnim pogojem. Te funkcije so določene z vrednostmi, ki jih zavzamejo na predstavnikih desnih odsekov \(\mathop{\mathrm{im}}\phi \backslash G\),¹⁷ in te vrednosti pripadajo podprostoru \(V^{\ker \phi}\).¹⁸

Najpomembnejši primer indukcije, čeravno ne tudi najbolj preprost, je indukcija iz podgrupe končnega indeksa. Naj bo \(G\) grupa s podgrupo \(H\) in naj bo \(\phi\) vložitev \(H\) v \(G\). Predpostavimo, da je \(|G:H| < \infty\). Naj bo \(\rho\) upodobitev grupe \(H\) na prostoru \(V\). Premislimo, kako izgleda upodobitev \(\mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(\rho)\).

Naj bo \(R\) neka izbrana množica predstavnikov desnih odsekov \(H\) v \(G\). Vsaka funkcija \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,V)^H\) je določena z vrednostmi \(f(r)\) za \(r \in R\) in dodatnih restrikcij za te vrednosti ni, zato dobimo izomorfizem vektorskih prostorov¹⁹ \[\Phi \colon \mathop{\mathrm{fun}}(G,V)^H \to \mathop{\mathrm{fun}}(R,V), \quad f \mapsto \left( r \mapsto f(r) \right).\] Da dobimo spletično, moramo posplošitev regularnega delovanja \(G\) na \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,V)\) prenesti prek linearnega izomorfizma \(\Phi\) na desno stran. V ta namen naj bo \(v \in V\) in \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,V)^H\) z lastnostjo \(f(r_0) = v\) in \(f(r) = 0\) za \(r \in R \backslash \{ r_0 \}\). Za vsak \(g \in G\) mora tako veljati \[g \cdot \left( r \mapsto \begin{cases} v & r = r_0, \\ 0 & r \neq r_0 \end{cases} \right) = \Phi \left( g \cdot f \right) = \Phi \left( x \mapsto f(xg) \right).\] Za \(x \in R\) z lastnostjo \(xg \in Hr_0\), se pravi \(x = h r_0 g^{-1}\) za nek \(h \in H\), velja \(f(xg) = f(hr_0) = \rho(h) \cdot v\). Seveda je \(|R \cap H r g^{-1}| = 1\), torej obstaja natanko en tak \(x\). Za \(x \in R\) z lastnostjo \(xg \notin Hr_0\) pa velja \(f(xg) = 0\). S tem je \[g \cdot \left( r \mapsto \begin{cases} v & r = r_0, \\ 0 & r \neq r_0 \end{cases} \right) = \left( r \mapsto \begin{cases} \rho(h) \cdot v & r = h r_0 g^{-1} \text{ za nek $h \in H$,} \\ 0 & r \notin H r_0 g^{-1} \end{cases} \right).\] Da bo preslikava \(\Phi\) spletična, moramo na \(\mathop{\mathrm{fun}}(R,V)\) torej uvesti tako delovanje grupe \(G\), ki dan vektor \(v\) pri vnosu \(r_0 \in R\) preslika tako, da najprej izračuna odsek elementa \(r_0 g^{-1}\) po \(H\), ta element zapiše kot \(r_0 g^{-1} = h^{-1} r\) za \(h \in H, \ r \in R\), nato pa na vektor \(v\) deluje z \(\rho(h)\) in ga hkrati prestavi k vnosu \(r\).

Opisan postopek si lahko nekoliko lažje predstavljamo tako, da množico \(\mathop{\mathrm{fun}}(R,V)\) identificiramo z direktno vsoto \(\bigoplus_{r \in R} V r\), kjer je \(Vr\) kopija vektorskega prostora \(V\) pri komponenti \(r\). Element \(g \in G\) deluje na vektorju \(v r_0 \in Vr_0\) kot \(g^{-1}\) z desne. V teh domačih oznakah izračunamo \[g \cdot v r_0 = v r_0 g^{-1} = v h^{-1} r = (h \cdot v) r = (\rho(h) \cdot v) r,\] kar ravno ustreza bolj zakompliciranemu zapisu zgoraj.

Poseben primer opisane indukcije dobimo z enorazsežnimi upodobitvami grupe \(H\). Vsak homomorfizem \(\rho \colon H \to F^*\) porodi prostor \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)^H\) razsežnosti \(|G:H|\), ki je podprostor prostora funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) in na katerem torej grupa \(G\) deluje z regularno upodobitvijo. Inducirana upodobitev je v tem primeru podupodobitev regularne upodobitve \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}\). Na ta način lahko dobimo mnogo različnih upodobitev grupe \(G\).

Naj bosta \(G,H\) grupi s homomorfizmom \(\phi \colon H \to G\). Ni težko preveriti, da indukcija naravno prenese spletično med dvema upodobitvama grupe \(H\) v spletično med induciranima upodobitvama. Indukcija je torej funktor iz kategorije \(\mathop{\mathrm{Rep}}_H\) v kategorijo \(\mathop{\mathrm{Rep}}_G\).

Kadar imamo na voljo tri grupe, povezane s homomorfizmoma \(\phi_2 \colon H_2 \to H_1\) in \(\phi_1 \colon H_1 \to G\), lahko indukcijo izvedemo dvakrat zaporedoma. Upodobitvi \(\rho\) v \(\mathop{\mathrm{Rep}}_{H_2}\) tako priredimo upodobitev \(\mathop{\mathrm{Ind}}^{G}_{H_1}(\mathop{\mathrm{Ind}}^{H_1}_{H_2}(\rho))\) v \(\mathop{\mathrm{Rep}}_{G}\). Od grupe \(H_2\) do \(G\) imamo neposredno povezavo prek homomorfizma \(\phi_1 \circ \phi_2\), s čimer dobimo upodobitev \(\mathop{\mathrm{Ind}}^G_{H_2}(\rho)\). Ni težko preveriti, da sta dobljeni upodobitvi izomorfni. Tej lastnosti indukcije pravimo tranzitivnost.

S tranzitivnostjo indukcije lahko vsako indukcijo vzdolž homomorfizma \(\phi \colon H \to G\) razdelimo na tri korake: najprej induciramo vzdolž kvocientne projekcije \(H \to H/\ker \phi\), nato vzdolž izomorfizma \(H/\ker \phi \to \mathop{\mathrm{im}}\phi\) in nazadnje vzdolž vložitve \(\mathop{\mathrm{im}}\phi \to G\). Vsako od teh posameznih indukcij razumemo precej dobro in zato lahko to znanje uporabimo pri razumevanju indukcije vzdolž \(\phi\). Na primer, iz povedanega in razmislekov o preprostejših indukcijah, ki smo jih že naredili, sledi, da je razsežnost inducirane upodobitve \(\rho\) grupe \(H\) na prostoru \(V\) enaka \[\textstyle \deg(\mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(\rho)) = |G:\mathop{\mathrm{im}}\phi| \cdot \dim(V^{\ker \phi}).\]

Adjunkcija restrikcije in indukcije

Indukcija in restrikcija vsekakor nista inverzna funktorja. Na primer, če je \(H \leq G\) in \(\phi\) vložitev, potem za upodobitev \(\rho\) v \(\mathop{\mathrm{Rep}}_G\) velja \(\deg(\mathop{\mathrm{Res}}^G_H(\rho)) = \deg(\rho)\) in zato \(\deg(\mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(\mathop{\mathrm{Res}}^G_H(\rho))) = |G:H| \cdot \deg(\rho)\), kar je lahko mnogo večje od \(\deg(\rho)\). Sta pa funktorja restrikcije in indukcije vendarle tesno povezana. Tvorita namreč adjungiran par funktorjev.²⁰

Upodobitev pod mikroskopom

V tem poglavju bomo pribili upodobitev dane grupe in se ji tesno približali, kot da bi jo pogledali pod mikroskopom. Pri tem bomo najprej uzrli osnovne kose, iz katerih je sestavljena upodobitev. Ti osnovni kosi ustrezajo celicam, ki jih vidimo pod mikroskopom. Za tem se bomo približali še sestavi teh osnovnih kosov: vsak je dan s homomorfizmom v matrike, zato bomo raziskali koeficiente te matrike. Ti ustrezajo organelom, ki jih v celici vidimo pod mikroskopom. Nazadnje bomo premislili, da so te upodobitvene celice dovolj diferencirane med sabo, da za njihovo identifikacijo zadošča poznavanje le nekaterih njihovih organelov.

Razstavljanje upodobitve

Pogosto nas zanima, ali lahko dano upodobitev \(\rho\) grupe \(G\) na prostoru \(V\) zapišemo kot direktno vsoto nekih podupodobitev in na ta način upodobitev \(\rho\) razstavimo na preprostejše upodobitve, podobno kot razstavimo števila na manjše faktorje.

Nerazcepnost

Naj bo \(G\) grupa z upodobitvijo \(\rho\) na prostoru \(V \neq 0\). Kadar ne obstaja noben \(G\)-invarianten podprostor prostora \(V\) (razen prostorov \(0\) in \(V\)), tedaj rečemo, da je upodobitev \(\rho\) nerazcepna.²¹ V tem primeru upodobitve seveda ne moremo razstaviti na enostavnejše v smislu direktne vsote.

Preverimo, da so nerazcepne upodobitve dane grupe med sabo neprimerljive, tudi če so enake razsežnosti. Zatorej si jih lahko predstavljamo kot neodvisne osnovne kose kategorije upodobitev dane grupe.²²

Nad algebraično zaprtimi polji lahko to neprimerljivost raztegnemo do ene same upodobitve: osnovni kosi nimajo netrivialnih simetrij.

Množico vseh izomorfnostnih razredov nerazcepnih upodobitev dane grupe \(G\) označimo z \(\mathop{\mathrm{Irr}}(G)\).

Komplementarna podupodobitev

Predpostavimo zdaj, da ima dana upodobitev \(\rho\) grupe \(G\) na prostoru \(V\) neko podupodobitev \(\tilde\rho\) na podprostoru \(W \leq V\). Seveda lahko vselej najdemo vektorski prostor \(U \leq V\), za katerega je \(V = U \oplus W\), vsekakor pa ni jasno, če lahko najdemo tak podprostor \(U\), ki je celo \(G\)-invarianten. Kadar je temu tako, rečemo, da smo našli komplementarno podupodobitev podupodobitve \(\tilde\rho\).²³ Ni vsaka podupodobitev komplementirana.

Ni težko preveriti, da obstoj komplementarne podupodobitve vselej izhaja iz projekcijskih spletičen.²⁴

Polenostavnost

Vrnimo se k začetni ideji o razstavljanju dane upodobitve. Kadar lahko dano upodobitev \(\rho\) zapišemo kot direktno vsoto nerazcepnih upodobitev \(\bigoplus_{i \in I} \rho_i\), tedaj rečemo, da je \(\rho\) polenostavna upodobitev. Če so pri tem vse podupodobitve \(\rho_i\) izomorfne med sabo, upodobitev \(\rho\) imenujemo izotipična upodobitev.

Vseh upodobitev žal ne moremo razstaviti na direktno vsoto nerazcepnih.²⁵ Polenostavnost dane upodobitve je namreč tesno povezana z obstojem komplementarnih podupodobitev.

Z uporabo zadnjega kriterija lahko dokažemo, da je polenostavnost zaprta za osnovne konstrukcije z upodobitvami.

Nazadnje lahko s pomočjo projekcijskih spletičen naredimo še en korak naprej pri razumevanju simetrij upodobitev. Premislili smo že, da so osnovni kosi brez netrivialnih simetrij. V primeru polenostavnih upodobitev drži tudi obratno.

Kompozicijska vrsta

Vsake upodobitve ne moremo razstaviti kot direktno vsoto nerazcepnih upodobitev. Kljub temu pa je res, da lahko vsako upodobitev (na končnorazsežnem prostoru) razstavimo na nerazcepne upodobitve, le da moramo pri tem poseči po nekoliko zahtevnejšem načinu razstavljanja.

Naj bo \(G\) grupa z upodobitvijo na prostoru \(V\). Predpostavimo, da obstaja zaporedje \(G\)-invariantnih podprostorov \[0 = V_0 \leq V_1 \leq V_2 \leq \cdots \leq V_n = V,\] pri čemer so vsi zaporedni kvocienti \(V_i/V_{i-1}\) za \(1 \leq i \leq n\), gledani kot upodobitve grupe \(G\), nerazcepni. Tako zaporedje imenujemo kompozicijska vrsta upodobitve na prostoru \(V\). Kvocienti \(V_i/V_{i-1}\) se pri tem imenujejo kompozicijski faktorji.

Iz izreka sledi, da lahko za vsako upodobitev \(\rho\) grupe \(G\) na končnorazsežnem prostoru najdemo bazo prostora, v kateri imajo vse matrike \(\rho(g)\) za \(g \in G\) bločnozgornjetrikotno obliko (pri čemer je število blokov enako dolžini kompozicijske vrste). Po drugi strani lahko za polenostavno upodobitev najdemo bazo prostora, v kateri imajo vse matrike bločnodiagonalno obliko.

Izotipične komponente

Po zadnjem izreku je za dano upodobitev \(\rho\) na končnorazsežnem prostoru in nerazcepno upodobitev \(\pi\) število kompozicijskih faktorjev, ki so izomorfni \(\pi\), neodvisno od kompozicijske vrste. Temu številu pravimo večkratnost \(\pi\) v \(\rho\) in ga označimo z \(\mathop{\mathrm{mult}}_{\rho}(\pi)\).

Kadar je dana upodobitev polenostavna, je do izomorfizma natančno enolično določena s svojimi večkratnostmi. Če je \(\rho = \bigoplus_{i \in I} \rho_i\), potem je \[\hom_G(\pi, \rho) = \bigoplus_{i \in I} \hom_G(\pi, \rho_i).\] Po Schurovi lemi je (nad algebraično zaprtim poljem) vsak od zadnjih prostorov spletičen bodisi trivialen bodisi enorazsežen. Večkratnost \(\pi\) v \(\rho\) lahko zatorej izračunamo kot \[\textstyle \mathop{\mathrm{mult}}_{\rho}(\pi) = \dim \hom_G(\pi, \rho).\]

Čeravno so kompozicijski faktorji upodobitve enolično določeni do permutacije natančno, pa ni res, da so enolično določeni tudi členi kompozicijske vrste, niti kadar je dana upodobitev polenostavna. Lahko se namreč zgodi, da neka nerazcepna podupodobitev nastopa z večkratnostjo vsaj \(2\).²⁷

Oglejmo si tako situacijo še podrobneje. Naj bo \(G\) grupa z upodobitvijo \(\rho\) na prostoru \(V\). Naj bo \(\pi\) neka nerazcepna upodobitev grupe \(G\). Opazujmo vse \(G\)-invariantne podprostore v \(V\), ki so kot upodobitve izomorfni \(\pi\). Vsota (ne nujno direktna) vseh teh podprostorov \[\textstyle \mathop{\mathrm{Izotip}}_{\rho}(\pi) = \sum_{W \leq V, \ W \cong \pi} W\] je \(\pi\)-izotipična komponenta upodobitve \(\rho\). Ta je sicer definirana za vsako upodobitev, a jo je za polenostavne upodobitve še posebej lahko določiti.

Naj bo \(G\) grupa z upodobitvijo \(\rho\) na prostoru \(V\) in nerazcepno upodobitvijo \(\pi\) na prostoru \(W\). Vsak \(G\)-invarianten podprostor v \(V\), ki je kot upodobitev izomorfen \(\pi\), lahko dobimo kot sliko prostora \(W\) z neko spletično v \(\hom_G(\pi, \rho)\).²⁸ Vsoto vseh takih \(G\)-invariantnih podprostorov lahko torej zajamemo kot sliko linearne preslikave \[\Sigma_{\pi, \rho} \colon \hom_G(\pi, \rho) \otimes W \to V, \quad \Phi \otimes w \mapsto \Phi(w).\] S tem je \(\mathop{\mathrm{im}}\Sigma_{\pi, \rho} = \mathop{\mathrm{Izotip}}_{\rho}(\pi)\). Grupa \(G\) deluje na \(\hom_G(\pi, \rho) = \hom(W,V)^G\) trivialno, na \(W\) pa prek \(\pi\). Na ta način je \(\Sigma_{\pi, \rho}\) celo spletična upodobitev.

Matrični koeficienti

Vsaka upodobitev dane grupe je homomorfizem v grupo obrnljivih matrik \(\mathop{\mathrm{GL}}(V)\). Do sedaj smo na upodobitve gledali z bolj konceptualnega stališča: govorili smo o strukturi prostora \(V\) in o njegovi morebitni dekompoziciji na nerazcepne upodobitve. Zdaj si bomo z vsako od teh umazali roke in jo pogledali še podrobneje.

Predpostavimo, da je prostor \(V\) končnorazsežen. Izberimo bazo prostora \(V\) in s tem izomorfizem \(V \cong F^n\) za nek \(n\), tako da je upodobitev dana s homomorfizmom \(\rho \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}_n(F)\). Vsak tak homomorfizem je po komponentah podan s svojimi matričnimi koeficienti; to so funkcije \[f_{i,j} \colon G \to F, \quad g \mapsto \langle e_i^*, \rho(g) \cdot e_j \rangle = \rho(g)_{i,j}\] za \(i,j \in \{ 1, 2, \dots, n \}\).

O matričnih koeficientih upodobitve \(\rho\) lahko abstraktneje govorimo tudi brez izbire baze prostora. Za vsak vektor \(v \in V\) in kovektor \(\lambda \in V^*\) definiramo \(f_{v, \lambda} \colon G \to F\), \(g \mapsto \langle \lambda, \rho(g) \cdot v \rangle\). To so posplošeni matrični koeficienti. Kadar je prostor \(V\) končnorazsežen, lahko vsak vektor razvijemo po izbrani bazi in vsak kovektor po dualni bazi, s čimer posplošeni matrični koeficient razvijemo po običajnih matričnih koeficientih.

Matrični koeficienti in regularna upodobitev

Matrične koeficiente lahko vidimo kot elemente vektorskega prostora funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) iz \(G\) v \(F\). Na tem prostoru deluje grupa \(G\) z regularno upodobitvijo \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}\). Naj bo \(\mathop{\mathrm{MK}}(\pi) \leq \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) podprostor, ki ga razpenjajo matrični koeficienti neke končnorazsežne nerazcepne upodobitve \(\pi\).²⁹

Matrični koeficienti upodobitve \(\pi\) nam torej dajejo podupodobitev na prostoru \(\mathop{\mathrm{MK}}(\pi)\) znotraj regularne upodobitve \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}\) na \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\). Ni presenetljivo, da je ta podupodobitev v resnici tesno povezana s \(\pi\).

Izpostavimo pomembno posledico, ki nam pove, da lahko vse nerazcepne upodobitve najdemo v regularni.

V posebnem smo tekom zadnjega dokaza izpeljali, da so po izbiri baze matrični koeficienti končnorazsežne nerazcepne upodobitve nad algebraično zaprtim poljem \(\pi\) vselej linearno neodvisni.³¹ Vseh je ravno \(\deg(\pi)^2\) in znotraj regularne upodobitve tvorijo podupodobitev \(\mathop{\mathrm{MK}}(\pi)\), ki sestoji iz \(\deg(\pi)\) mnogo kopij upodobitve \(\pi\).

Vse podobno velja, kadar imamo namesto ene same nerazcepne upodobitve končno mnogo paroma neizomorfnih nerazcepnih upodobitev \(\{ \pi_i \}_{i \in I}\) dane grupe \(G\). Vsaka od njih nam po izbiri baze podari svoje matrične koeficiente. Ti razpenjajo prostore, ki so enakim izotipičnim komponentam v regularni upodobitvi in te komponente tvorijo notranjo direktno vsoto. Matrični koeficienti vseh teh upodobitev so torej linearno neodvisni med sabo. Vseh skupaj je \(\sum_{i \in I} \deg(\pi_i)^2\).

Matrični koeficienti so elementi prostora funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\). V primeru, ko je grupa končna, lahko po primerjanju dimenzij zato izpeljemo neenakost \[\sum_{i \in I} \deg(\pi_i)^2 \leq \dim \mathop{\mathrm{fun}}(G,F) = |G|.\]

Več o upodobitvah končnih grup si bomo pogledali nekoliko kasneje.

Karakterji

Naj bo \(G\) grupa in \(\rho\) njena končnorazsežna upodobitev. Po izbiri baze dobimo matrične koeficiente \(f_{i,j}\). Te lahko kombiniramo na različne načine, da dobimo funkcije v \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\), ki so nazadnje neodvisne od izbire baze. Najosnovnejša³² taka funkcija je sled linearnega operatorja, se pravi \[\textstyle \chi_{\rho} \colon G \to F, \quad g \mapsto \mathop{\mathrm{tr}}(\rho(g)) = \sum_{i = 1}^{\deg(\rho)} f_{i,i}(g).\] To funkcijo imenujemo karakter upodobitve \(\rho\). Kadar je upodobitev \(\rho\) nerazcepna, tudi njenemu karakterju dodamo pridevnik nerazcepen.

Karakter je neodvisen od izbire baze, zato za vsaka \(x, g \in G\) velja \(\chi_{\rho}(x g x^{-1}) = \chi_{\rho}(g)\). Karakterji so torej funkcije na \(G\), ki so konstantne na konjugiranostnih razredih.³³ Takim funkcijam pravimo razredne funkcije in jih označimo s \[\mathop{\mathrm{fun}}_{\mathop{\mathrm{cl}}}(G,F) = \{ f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,F) \mid \forall x, g \in G \colon f(x g x^{-1}) = f(g) \}.\] Za dan konjugiranostni razred \(\mathcal{C}\) v grupi \(G\) bomo pisali \(\chi_{\rho}(\mathcal{C})\) za vrednost karakterja v poljubnem predstavniku tega razreda.

Že samo imenovanje karakterjev odzvanja, da to niso poljubne funkcije v \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\), temveč da v nekem smislu zajemajo srž upodobitve.

Karakterjev fundamentalnih konstrukcij različnih upodobitev ni težko izračunati.

Lastnost karakterjev kot srža upodobitve se prenese na končnorazsežne polenostavne upodobitve, če je le polje ničelne karakteristike. Karakter dane polenostavne upodobitve \(\rho\) namreč lahko razvijemo kot \[\textstyle \chi_{\rho} = \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \mathop{\mathrm{mult}}_{\rho}(\pi) \cdot \chi_{\pi}.\] Polenostavna upodobitev je enolično določena s svojimi nerazcepnimi komponentami in njihovimi večkratnostmi. Če je torej \(\chi_{\rho_1} = \chi_{\rho_2}\) za polenostavni upodobitvi \(\rho_1\), \(\rho_2\), potem od tod iz neodvisnosti nerazcepnih karakterjev sledi enakost \(\mathop{\mathrm{mult}}_{\rho_1}(\pi) = \mathop{\mathrm{mult}}_{\rho_2}(\pi)\) za vsako nerazcepno upodobitev \(\pi\). To je enakost v polju \(F\), od koder po predpostavki o ničelni karakteristiki sledi, da ta enakost velja tudi v kolobarju celih števil. S tem je \(\rho_1 \cong \rho_2\).

Karakterji so torej funkcije na grupi, s katerimi so v mnogih primerih upodobitve, ki so sicer mnogo bolj kompleksni objekti kot le funkcije na grupi, natančno določene. V nadaljevanju bomo videli, da lahko včasih eksplicitno izračunamo vse nerazcepne karakterje, brez da bi sploh poznali same nerazcepne upodobitve. Na ta način lahko dodobra razumemo kategorijo upodobitev dane grupe zgolj z uporabo karakterjev.

Upodobitve končnih grup

V tem poglavju bomo raziskali kategorijo upodobitev končne grupe s posebnim poudarkom na situaciji, ko je karakteristika polja tuja moči grupe. V tem primeru je, kot bomo videli, vsaka upodobitev polenostavna, zato lahko vprežemo karakterje za razumevanje kategorije upodobitev.

Polenostavnost

Nerazcepne upodobitve

Prepričajmo se najprej, da končne grupe nimajo prevelikih nerazcepnih upodobitev.

Iz trditve in razmislekov v prejšnjem poglavju sledi, da je vsaka nerazcepna upodobitev končne grupe vsebovana v regularni upodobitvi. Nad algebraično zaprtim poljem dodatno velja, da je razsežnosti kvečjemu \(\sqrt{|G|}\).

Maschkejev izrek

Spoznali smo že, da niso vse upodobitve polenostavne, niti kadar je grupa končna. Videli smo primer grupe \(S_3\) z dvorazsežno upodobitvijo \(\rho\), ki je bila definirana nad kolobarjem \(\mathbf{Z}\) in katere projekcija po modulu \(3\) ni bila polenostavna. Naslednji izrek razkrije, da je to mogoče le v primeru, ko karakteristika polja deli moč grupe.

Preden dokažemo izrek, pojasnimo, kako in zakaj nam prideta prav končnost grupe \(G\) in ustrezna karakteristika polja \(F\). Ti dve predpostavki namreč odpirata vrata orodju povprečenja po grupi. Za dano funkcijo \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) lahko v tej ugodni situaciji izračunamo njeno povprečno vrednost³⁴ \[\mathbf{E}(f) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f(g) \in F.\] Te račune povprečij lahko razširimo na izračun povprečne linearne preslikave upodobitve. Za dano upodobitev \(\rho\) grupe \(G\) na prostoru \(V\) lahko v tej ugodni situaciji izračunamo njeno povprečno vrednost \[\mathbf{E}(\rho) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho(g) \in \hom(V,V).\]

Dekompozicija regularne upodobitve

Naj bo \(G\) končna grupa in \(F\) algebraično zaprto polje karakteristike tuje \(|G|\). Vsaka nerazcepna upodobitev \(\pi\) grupe \(G\) nad \(F\) je uresničljiva kot podupodobitev regularne \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}\). Slednja je po Maschkejevem izreku polenostavna, zato jo lahko zapišemo kot direktno vsoto izotipičnih komponent nerazcepnih upodobitev. Vsaka \(\pi\)-komponenta pri tem sestoji iz \(\deg(\pi)\) mnogo kopij upodobitve \(\pi\). Izpostavimo in povzemimo.

V posebnem iz izreka po primerjavi razsežnosti izpeljemo \[\sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \deg(\pi)^2 = |G|.\]

Ortogonalnost matričnih koeficientov

Na prostor funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) uvedimo skalarni produkt s predpisom \[[ f_1, f_2 ] = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f_1(g) f_2(g^{-1})\] za \(f_1, f_2 \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\). Ker je polje \(F\) v splošnem abstraktno, to sicer ni običajen skalarni produkt, je pa to vendarle nedegenerirana simetrična bilinearna forma na \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\), zato zanjo uporabljamo vso standardno terminologijo iz običajnih skalarnih produktov.

Z uporabo povprečenja na prostoru linearnih preslikav (podobno kot pri dokazu Maschkejevega izreka) bomo nadgradili dekompozicijo regularne upodobitve na ortogonalno direktno vsoto.

Na soroden način lahko analiziramo skalarne produkte znotraj matričnih koeficientov ene same nerazcepne upodobitve.

Karakterji

Iz rezultatov zadnjega razdelka sledi, da je nad algebraično zaprtim poljem ničelne karakteristike (na primer zelo ugodnim poljem \(\mathbf{C}\)) kategorija upodobitev dane končne grupe popolnoma določena z nerazcepnimi upodobitvami, ki jih lahko razumemo s pomočjo karakterjev. V tem razdelku bomo podrobneje razvili to teorijo.

Ortonormiranost karakterjev

Iz ortogonalnosti matričnih koeficientov z lahkoto izpeljemo ortonormiranost karakterjev.

V skladu z običajno terminologijo za funkcijo \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) označimo \(||f|| = \sqrt{[ f, f ]}\), to je norma funkcije \(f\). Nerazcepni karakterji tvorijo ortonormiran sistem vektorjev v \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\).

Razredne funkcije

Karakterji niso poljubne funkcije v \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\), temveč vselej pripadajo prostoru \(\mathop{\mathrm{fun}}_{\mathop{\mathrm{cl}}}(G,F)\) razrednih funkcij. Vemo že tudi, da so karakterji nerazcepnih upodobitev tudi linearno neodvisni. S pomočjo ortonormiranosti karakterjev bomo sedaj dokazali, da tvorijo celo bazo prostora razrednih funkcij.

Zopet bomo za dokaz uporabili metodo povprečenja po grupi, a bomo to povprečenje še utežili. Za dano funkcijo \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) definiramo njeno nekomutativno Fourierovo transformacijo \(\hat{f}\) kot funkcijo, ki poljubni upodobitvi \(\rho\) grupe \(G\) na prostoru \(V\) priredi \[\hat{f}(\rho) = \sum_{g \in G} f(g) \rho(g^{-1}) \in \hom(V,V).\] Fourierova transformacija funkciji \(f\) torej priredi njeno uteženo povprečje poljubne upodobitve vzdolž \(f\), pri čemer se zgleduje po skalarnem produktu na prostoru funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\). V primeru, ko je \(f\) konstantna funkcija \(1/|G|\), z njeno Fourierovo transformacijo najdemo običajno povprečno vrednost upodobitve \(\mathbf{E}(\rho)\).

Opremljeni lahko z lahkoto izpeljemo izrek.

Vsaka razredna funkcija je enolično določena s svojimi vrednostmi v predstavnikih konjugiranostnih razredov. Če število konjugiranostnih razredov označimo s \(\mathop{\mathrm{k}}(G)\), velja torej \(\dim \mathop{\mathrm{fun}}_{\mathop{\mathrm{cl}}}(G,F) = \mathop{\mathrm{k}}(G)\). Ker karakterji tvorijo bazo prostora razrednih funkcij, lahko število nerazcepnih upodobitev torej izračunamo neposredno iz algebraične strukture grupe.

V splošnem ne poznamo eksplicitne korespondence³⁸ med konjugiranostnimi razredi in nerazcepnimi upodobitvami. Vemo le, da njuno število sovpada.

Ker nerazcepni karakterji tvorijo ortonormirano bazo prostora razrednih funkcij, lahko vsako razredno funkcijo \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}_{\mathop{\mathrm{cl}}}(G,F)\) razvijemo po tej bazi kot \[f = \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} [ f, \chi_{\pi} ] \chi_{\pi}.\] Alternativna baza prostora razrednih funkcij sestoji iz karakterističnih funkcij konjugiranostnih razredov v \(G\). Razvoj te baze po karakterjih nam podaja še eno relacijo med karakterji, ki je ortogonalna⁴¹ ortonormiranosti.

Razstavljanje upodobitve

S pomočjo ortonormirane baze karakterjev lahko z lahkoto razumemo vsako končnorazsežno upodobitev končne grupe nad ugodnim poljem.

Projekcije na izotipične komponente

Dekompozicijo regularne upodobitve smo dobili iz matričnih koeficientov nerazcepnih upodobitev, torej gre za nekakšno notranjo dekompozicijo. Obstaja pa tudi zunanja dekompozicija, pri kateri iz upodobitve same s pomočjo ustreznih projekcijskih spletičen najdemo izotipične komponente upodobitve.

Naj bo \(G\) končna grupa in \(F\) algebraično zaprto polje karakteristike tuje \(|G|\). Naj bo \(\rho\) podupodobitev regularne upodobitve \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}\) na prostoru \(V \leq \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\). Ta prostor lahko predstavimo kot sliko neke projekcijske spletične \(\Phi \in \hom_G(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}, \rho)\). Res je tudi obratno, vsaka spletična \(\Phi \in \hom_G(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}, \rho_{\mathop{\mathrm{fun}}})\) podaja prek svoje slike podupodobitev regularne upodobitve. Podupodobitve so torej parametrizirane s spletičnami. Izkaže se, da te vselej izhajajo iz Fourierovih transformacij.

V posebnem je vsaka endospletična regularne upodobitve enaka evalvaciji Fourierovi transformacije v neki fiksni funkciji.⁴³ Nekoliko natančneje si poglejmo, kaj je ta evalvacija. Za funkciji \(f,h \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) je \[\hat{h}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}) \cdot f = \sum_{g \in G} h(g) \rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(g^{-1}) \cdot f = \left( x \mapsto \sum_{g \in G} h(g) f(x g^{-1}) \right).\] Zadnjo vsoto prepoznamo kot konvolucijo funkcij \(f\) in \(h\), se pravi \[\left( f * h \right) (x) = \sum_{g \in G} f(x g^{-1}) h(g).\] Velja torej \(\hat{h}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}) \cdot f = f * h\). Če dodatno predpostavimo, da je \(f\) razredna funkcija, potem se ni težko prepričati, da velja \(f * h = h * f\), torej je v tem primeru \[\mathcal{F}(f) \cdot h = \hat{h}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}) \cdot f = \hat{f}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}) \cdot h\] in zato preslikava \(\mathcal{F}\) ni nič drugega kot običajna Fourierova transformacija razredne funkcije. V posebnem so torej Fourierove transformacije karakterjev endospletične regularne upodobitve. Izkaže se, da so te vselej tesno povezane s projekcijami na izotipične komponente.

Vsako funkcijo \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) lahko razvijemo po karakterističnih funkcijah kot \(f = \sum_{x \in G} f(x) 1_x\). Ker že poznamo razvoj vsake od karakterističnih funkcij po \(\pi\)-izotipičnih komponentah, od tod izpeljemo \[f(g) = \frac{1}{|G|} \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \sum_{x \in G} f(x) \chi_{\pi}(1) \mathop{\mathrm{tr}}\left( \pi(x^{-1}) \cdot \pi(g) \right),\] kar lahko po upoštevanju linearnosti sledi izrazimo kot \[f(g) = \frac{1}{|G|} \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \chi_{\pi}(1) \mathop{\mathrm{tr}}\left( \hat{f}(\pi) \cdot \pi(g) \right).\] Temu razvoju funkcije \(f\) po \(\pi\)-izotipičnih komponentah rečemo Fourierova inverzija, saj nam ekplicitno pove, kako lahko \(f\) izračunamo iz njenih Fourierovih transformacij v nerazcepnih upodobitvah.

Izračunljivost tabele karakterjev

Naj bo \(G\) končna grupa in \(F\) algebraično zaprto polje karakteristike tuje \(|G|\). Kategorijo \(\mathop{\mathrm{Rep}}_G\) v tem primeru razumemo zelo dobro, če le poznamo tabelo karakterjev. Za zdaj smo si pogledali nekaj zgledov, kako to tabelo izračunati za posebne primere grupe. Pri tem smo si sicer res pomagali z razvito teorijo, a je bil večji del izračuna tabele opravljen z metodo ostrega pogleda. V splošnem se temu lahko izognemo; obstaja namreč več algoritmov, ki le z uporabo linearne algebre izračunajo tabelo karakterjev.

Pogledali si bomo enega takih algoritmov, ki uporablja projekcije na izotipične komponente iz zadnjega razdelka. Algoritem temelji na Fourierovi transformaciji karakteristične funkcije \(1_{\mathcal{C}}\) konjugiranostnega razreda \(\mathcal{C}\) grupe \(G\) v regularni upodobitvi \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}\). Po lemi o Fourierovi transformaciji razredne funkcije je namreč zožitev \(\widehat{1_{\mathcal{C}}}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}})\) na \(\pi\)-izotipično komponento skalarno množenje s številom \[\frac{|G|}{\deg(\pi)} \cdot [1_{\mathcal{C}}, \chi_{\pi}] = |\mathcal{C}| \cdot \frac{\chi_{\pi}(\mathcal{C}^{-1})}{\chi_{\pi}(1)}.\] Vektorji v \(\pi\)-izotipični komponenti so zato hkratni lastni vektorji preslikav \(\widehat{1_{\mathcal{C}}}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}})\), ko \(\mathcal{C}\) preteče vse konjugiranostne razrede grupe \(G\). Pokažimo, da je ta opis v resnici karakterizacija \(\pi\)-izotipičnih komponent.

S to karakterizacijo izotipičnih komponent lahko opišemo algoritem za izračun tabele karakterjev.⁴⁵ Najprej oštevilčimo elemente grupe \(G\) kot \(g_1, g_2, \dots, g_{|G|}\) in pripravimo vektorski prostor \(F^{|G|} \cong \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) s standardno bazo \(e_i\), ki ustreza karakteristični funkciji \(1_{g_i}\). Izračunamo še konjugiranostne razrede grupe \(G\) in iz vsakega izberemo predstavnika. Pripravimo funkcijo, ki izračuna matriko regularne upodobitve \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}\) v poljubnem elementu \(x \in G\), in za tem še funkcijo, ki izračuna matriko Fourierove transformacije \(\widehat{1_{\mathcal{C}}}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}})\) za konjugiranostni razred \(\mathcal{C}\). Izračunamo lastne podprostore vseh teh matrik in za tem vse njihove netrivialne preseke. Te so ravno izotipične komponente. V vsaki komponenti \(W\) izberemo bazo, v kateri izračunamo sled zožitve matrike \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(x)\) na \(W\). Ker je \(W\) kot upodobitev izomorfen direktni vsoti \(\deg(\pi)\) kopij neke nerazcepne upodobitve \(\pi\), velja \(\dim(W) = \deg(\pi)^2\) in zato \[\mathop{\mathrm{tr}}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(x) |_W) = \sqrt{\dim(W)} \cdot \chi_{\pi}(x).\] Iz izračunane sledi torej lahko določimo vrednost pripadajočega karakterja v predstavnikih konjugiranostnih razredov. Implementacija predstavljenega algoritma za izračun tabele karakterjev nad \(\mathbf{C}\) v programskem jeziku GAP⁴⁶ je dostopna tukaj.

Predstavljeni algoritem ima mnogo pomanjkljivosti. V programskem jeziku GAP je za izračun tabele karakterjev implementiran algoritem (Dixon 1967, Schneider 1990), ki izboljša predstavljenega na naslednja dva načina.

1. S predstavljenim algoritmom bomo težko izračunali tabelo karakterjev kakšne zelo velike grupe, saj moramo v postopku diagonalizirati matrike velikosti \(|G| \times |G|\). Algoritem v GAP sicer temelji na enaki ideji iskanja skupnih lastnih podprostorov, a pri tem ne opazuje regularne upodobitve, temveč upošteva abstraktne formule med karakterji in iz njih izpelje matrike velikosti \(\mathop{\mathrm{k}}(G) \times \mathop{\mathrm{k}}(G)\), katerih skupni lastni vektorji so (bolj ali manj) karakterji. Ker je \(\mathop{\mathrm{k}}(G)\) bistveno manjše od \(|G|\), je ta izračun mnogo lažji in hitrejši.

2. Za izračun natančnih vrednosti karakterjev moramo vse račune izvajati eksaktno in brez približkov. Numerične metode, ki jih sicer lahko uporabimo za hitro računanje lastnih vrednosti velikih matrik, torej odpadejo. Programski jezik GAP zna računati simbolično, a je to lahko precej zamudno. Algoritem v GAP se temu izogne tako, da večino računov opravi nad poljem \(\mathbf{F}_p\) za ustrezno izbrano dovolj veliko praštevilo \(p\), potem pa te rezultate prenese nazaj nad \(\mathbf{C}\). Vsi računi so zato hitri in eksaktni.

Kolobar virtualnih karakterjev

Pogosto nas ne zanima le računski aspekt upodobitev, temveč konceptualno razumevanje, od kod prihajajo nerazcepne upodobitve dane grupe. Kot bomo videli, tukaj igra glavno vlogo indukcija.

Naj bo \(G\) grupa in \(F\) polje karakteristike tuje \(|G|\). Karakterji upodobitev grupe \(G\) so celoštevilske kombinacije nerazcepnih karakterjev. Tvorimo množico vseh takih kombinacij, se pravi \[R(G) = \bigoplus_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \mathbf{Z}\cdot \chi_{\pi} \subseteq \textstyle \mathop{\mathrm{fun}}_{\mathop{\mathrm{cl}}}(G, F).\] Množica \(R(G)\) je najprej očitno abelova podgrupa razrednih funkcij. Za tem je opremljena z množenjem, ki izhaja iz tenzorskega produkta upodobitev. Množica \(R(G)\) na ta način postane komutativen podkolobar v \(\mathop{\mathrm{fun}}_{\mathop{\mathrm{cl}}}(G,F)\), ki ga imenujemo kolobar virtualnih karakterjev.⁴⁸

Naj bo \(H\) podgrupa v \(G\). Restrikcija vzdolž vložitve \(H\) v \(G\) porodi homomorfizem kolobarjev \[\textstyle \mathop{\mathrm{Res}}\colon R(G) \to R(H), \quad \chi_{\pi} \mapsto \chi_{\mathop{\mathrm{Res}}^G_H(\pi)}.\] Sorodno dobimo z indukcijo preslikavo \[\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}\colon R(H) \to R(G), \quad \chi_{\pi} \mapsto \chi_{\mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(\pi)},\] ki pa je le homomorfizem abelovih grup. Ob koncu razdelka o indukciji smo za upodobitvi \(\rho\) v \(\mathop{\mathrm{Rep}}_G\) in \(\sigma\) v \(\mathop{\mathrm{Rep}}_H\) zapisali izomorfizem \[\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(\mathop{\mathrm{Res}}^G_H(\rho) \otimes \sigma) \cong \rho \otimes \mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(\sigma),\] ki ga zdaj lahko interpretiramo s karakterji teh upodobitev in sklenemo, da je slika \(\mathop{\mathrm{Ind}}(R(H))\) ideal v \(R(G)\).

Naj bo \(C\) množica vseh cikličnih pogrup grupe \(G\) in izberimo \(H \in C\). Naj bo \(R\) množica predstavnikov desnih odsekov \(H\) v \(G\). Zadnji zgled nam pove \(c_H \in R(H)\). Ta virtualni karakter lahko induciramo na grupo \(G\) in za \(g \in G\) dobimo \[{\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(c_H)(g)} = \sum_{r \in R \colon r g r^{-1} \in H} c_H(r g r^{-1}) = \sum_{r \in R \colon \langle r g r^{-1} \rangle = H} |H| = \sum_{x \in G \colon \langle x g x^{-1} \rangle = H} 1.\] Ko torej seštejemo prispevke po vseh cikličnih podgrupah, dobimo \[\sum_{H \in C} {\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}^G_H(c_H)(g)} = \sum_{x \in G} \sum_{H \in C} 1_{\langle x g x^{-1} \rangle = H} = \sum_{x \in G} 1 = |G|.\] Konstantna funkcija \(|G|\) je torej element ideala \(\sum_{H \in C} \mathop{\mathrm{Ind}}(R(H))\) v \(R(G)\). Od tod seveda sledi vsebovanost \[|G| \cdot R(G) \leq \sum_{H \in C} \mathop{\mathrm{Ind}}(R(H)).\] Vsak virtualni karakter v \(R(G)\) je zato linearna kombinacija induciranih virtualnih karakterjev cikličnih podgrup, pri čemer so koeficienti racionalna števila z imenovalcem kvečjemu \(|G|\). Povzemimo to presenetljivo ugotovitev.

Racionalnim kombinacijam se lahko izognemo, če razširimo razred podgrup s cikličnih na \(p\)-elementarne podgrupe grupe \(G\). To so podgrupe, ki so izomorfne direktnemu produktu ciklične grupe in \(p\)-grupe.

Dokaz Brauerjevega izreka je nekoliko bolj zapleten kot preprost argument, ki nas je pripeljal do Artinovega izreka. Bralec ga lahko najde v (Serre 1977).

Ne spreglejmo ključne lekcije tega razdelka: nerazcepne upodobitve dane končne grupe iščemo s pomočjo indukcije iz preprostih podgrup.

Kompleksne upodobitve

Splošno teorijo upodobitev končnih grup zaključimo z upodobitvami nad najugodnejšim poljem \(\mathbf{C}\). To polje je daleč od abstraktnega in je opremljeno z mnogo dodatne strukture, ki jo lahko pri upodobitvah izkoristimo.

Vrednosti karakterjev

Najprej si oglejmo nekaj dodatnih lastnosti, ki jih imajo karakterji kompleksnih upodobitev. Njihove vrednosti namreč niso čisto poljubna kompleksna števila, temveč so algebraična cela števila⁴⁹ omejene absolutne vrednosti.

S pomočjo te restriktivne lastnosti vrednosti karakterjev lahko izpeljemo pomembno lastnost stopenj nerazcepnih kompleksnih upodobitev.

Dokaz bomo navezali na edino mesto, kjer smo že videli ulomek \(|G|/\deg(\pi)\), in sicer je to lema o Fourierovi transformaciji razredne funkcije. Ko funkcija, vzdolž katere izvedemo transformacijo, slika v kolobar algebraičnih celih števil, lahko lemo o Fourierovi transformaciji razredne funkcije zaostrimo na naslednji način.

Skalarni produkti in unitarnost

Polje \(\mathbf{C}\) je opremljeno s standardnim skalarnim produktom \(\langle z, w \rangle = z \cdot \overline{w}\). Ta produkt lahko razširimo na vsak končnorazsežen kompleksen vektorski prostor. Obravnavali bomo dve taki razširitvi, in sicer na prostor funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,\mathbf{C})\) ter na vektorski prostor, na katerem upodabljamo grupo \(G\).

Opazujmo najprej prostor funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,\mathbf{C})\). Vemo že, da ga lahko opremimo s skalarnim produktom \([\cdot, \cdot]\). Ker pa je ta prostor kompleksen, lahko nanj vpeljemo še standarden kompleksni skalarni produkt, \[\langle f, h \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f(g) \overline{h(g)}\] za \(f,h \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,\mathbf{C})\). Za vsako končnorazsežno kompleksno upodobitev \(\rho\) po zadnji trditvi velja \[[f, \chi_{\rho}] = \langle f, \chi_{\rho} \rangle,\] zato se večina rezultatov, ki smo jih izpeljali za skalarni produkt \([\cdot, \cdot]\), prenese na skalarni produkt \(\langle \cdot, \cdot \rangle\). V posebnem karakterji še vedno tvorijo ortonormiran sistem vektorjev v \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,\mathbf{C})\) in koeficienti razvoja razrednih funkcij po karakterjih se ne spremenijo.

Osredotočimo se sedaj še na upodobitveni prostor. Naj bo \(\rho\) kompleksna upodobitev grupe \(G\) na končnorazsežnem prostoru \(V\). Izberimo bazo prostora \(\{ v_i \}_{i}\) in z njo kompleksen skalarni produkt \[\left\langle \sum_i \alpha_i v_i, \sum_i \beta_i v_i \right\rangle = \sum_i \alpha_i \overline{\beta_i}.\] Prostor \(V\) je opremljen z linearnim delovanjem grupe \(G\). Zdaj smo na ta prostor dodali strukturo skalarnega produkta in ni jasno, ali je grupa \(G\) kompatibilna s to dodatno strukturo. Kadar je temu tako, se pravi \[\forall g \in G. \ \forall v, w \in V. \quad \langle \rho(g) \cdot v, \rho(g) \cdot w \rangle = \langle v, w \rangle,\] tedaj rečemo, da je \(\rho\) unitarna upodobitev. V tem primeru \(\rho\) slika iz \(G\) v grupo unitarnih transformacij \(\mathop{\mathrm{U}}(V)\) prostora \(V\) s skalarnim produktom \(\langle \cdot, \cdot \rangle\). Seveda ni vsaka upodobitev končne grupe unitarna,⁵¹ je pa vsaka upodobitev unitarizabilna.

V kontekstu kompleksnih upodobitev končnih grup lahko torej brez škode predpostavimo, da je prostor opremljen s skalarnim produktom, glede na katerega je dana upodobitev unitarna.

Unitarnost upodobitev končne grupe \(G\) lahko izkoristimo pri Fourierovi transformaciji. Za unitarno upodobitev \(\rho\) je namreč \(\rho(g^{-1}) = \rho(g)^*\) za vsak \(g \in G\) in s tem \[\hat{f}(\rho) = \sum_{g \in G} f(g) \rho(g)^*.\] Opremljeni s tem komentarjem se obrnimo k Fourierovi inverziji. Formula za razvoj funkcije \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,\mathbf{C})\) po \(\pi\)-izotipičnih komponentah je nekoliko asimetrična. To lahko popravimo tako, da jo uteženo povprečimo z neko drugo funkcijo \(h \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,\mathbf{C})\). Dobimo \[\sum_{g \in G} f(g) \overline{h(g)} = \frac{1}{|G|} \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \sum_{g \in G} \overline{h(g)} \chi_{\pi}(1) \mathop{\mathrm{tr}}\left( \hat{f}(\pi) \cdot \pi(g) \right),\] kar lahko po upoštevanju linearnosti sledi in gornjega komentarja glede unitarnosti upodobitve \(\pi\) zapišemo kot \[\langle f, h \rangle = \frac{1}{|G|^2} \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \chi_{\pi}(1) \mathop{\mathrm{tr}}(\hat{f}(\pi) \cdot \hat{h}(\pi)^*).\] Tej enakosti rečemo Parsevalov izrek. Nekoliko pregledneje ga lahko zapišemo z uporabo še enega skalarnega produkta, tokrat na prostoru endomorfizmov danega vektorskega prostora \(V\). Za linearni preslikavi \(A,B \in \hom(V,V)\) definiramo \[\langle A, B \rangle_{\mathop{\mathrm{HS}}} = \mathop{\mathrm{tr}}(A \cdot B^*),\] to je Hilbert-Schmidtov skalarni produkt. Parsevalov izrek nam torej povezuje standarden kompleksni skalarni produkt funkcij s Hilbert-Schmidtovim skalarnim produktom Fourierovih transformacij v nerazcepnih upodobitvah, \[\langle f, h \rangle = \frac{1}{|G|^2} \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \chi_{\pi}(1) \left\langle \hat{f}(\pi), \hat{h}(\pi) \right\rangle_{\mathop{\mathrm{HS}}}.\]

Razširjeni zgledi – končni

Kategorijo upodobitev dane končne grupe nad ugodnim poljem razumemo, če imamo na voljo tabelo karakterjev, izračun te pa je končen problem. S tem smo za konkretne končne grupe dosegli ultimativen cilj teorije upodobitev. Biti pa moramo previdni, da zaradi vseh teh čudovitih dreves ne spregledamo gozda. Grupe namreč praviloma ne nastopajo posamično, temveč kot del večjih družin.⁵² V tem poglavju si bomo podrobneje pogledali dve temeljni družini grup, in sicer simetrične grupe ter splošne linearne grupe nad končnim poljem.⁵³ Njuno teorijo upodobitev bomo obravnavali celostno.

Simetrične grupe

Opazujmo simetrično grupo \(S_n\) za \(n \in \mathbf{N}\) nad poljem \(\mathbf{C}\). Ogledali smo si že tabele karakterjev za \(n \leq 4\) in razložili, da je število nerazcepnih upodobitev enako številu konjugiranostnih razredov, to pa je enako številu razčlenitev \(p(n)\). Družina simetričnih grup je posebna, saj zanjo presenetljivo obstaja eksplicitna korespondenca med konjugiranostnimi razredi in nerazcepnimi upodobitvami. Iz dane razčlenitve \((\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k)\) števila \(n\) lahko torej konstruiramo nerazcepno upodobitev grupe \(S_n\) in za tem z nekoliko več truda določimo vrednosti karakterjev.

Nerazcepne upodobitve

Naj bo \(\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k)\) razčlenitev \(n\). Nerazcepno upodobitev grupe \(S_n\), prirejeno \(\lambda\), kot ponavadi iščemo z indukcijo iz podgrup. Razčlenitev \(\lambda\) lahko interpretiramo kot ciklični tip permutacij, zato se naravno ponuja Youngova grupa \[P = S_{\lambda_1} \times S_{\lambda_2} \times \cdots \times S_{\lambda_k}.\] Razčlenitev \(\lambda\) si lahko predstavljamo kot zaporedje vrstic diagrama, v katerem je \(\lambda_1\) škatlic v \(1\). vrstici, \(\lambda_2\) škatlic v \(2\). vrstici, …, \(\lambda_k\) škatlic v \(k\). vrstici. Pri tem so vrstice poravnane na levo. Takemu shematičnemu prikazu razčlenitve pravimo Youngov diagram. Diagram ima \(n\) škatlic, v katere poljubno vpišemo števila od \(1\) do \(n\). Tako izpolnjenemu diagramu pravimo Youngova tabela. Vsaka Youngova tabela nam pravzaprav ponuja vložitev grupe \(P\) v \(S_n\). Fiksirajmo standardno vložitev, ki ustreza temu, da v škatlice vpišemo po vrsti števila od \(1\) do \(n\), začenši zgoraj levo in hodeč po \(1\). vrstici, nato po \(2\). vrstici in tako naprej. Grupa \(P\), standardno vložena v \(S_n\), predstavlja ravno vse permutacije, ki ohranjajo vrstice tabele.

Inducirajmo trivialno upodobitev iz \(P\) na \(S_n\). V razdelku o indukciji smo spoznali, da lahko \(\mathop{\mathrm{Ind}}^{S_n}_{P}(\mathbf{1})\) interpretiramo kot permutacijsko upodobitev \(S_n\) na desnih odsekih podgrupe \(P\). To interpretacijo lahko vložimo v prostor funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(S_n, \mathbf{C})\). Namesto množice \(P\) lahko namreč opazujemo indikatorsko funkcijo \(1_P\). Element \(g \in S_n\) na njej deluje kot \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(g) \cdot 1_P = 1_{P g^{-1}}\), se pravi kot permutacija desnih odsekov. Na ta način upodobitveni prostor upodobitve \(\mathop{\mathrm{Ind}}^{S_n}_{P}(\mathbf{1})\) vidimo kot \[\langle \rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(g) \cdot 1_{P} \mid g \in S_n \rangle.\] Ta prostor lahko izrazimo s pomočjo Fourierove transformacije kot \[\langle \hat{f}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}) \cdot 1_P \mid f \in \mathop{\mathrm{fun}}(S_n, \mathbf{C}) \rangle = \mathop{\mathrm{im}}\mathcal{F}(1_P) = \langle 1_P * f \mid f \in \mathop{\mathrm{fun}}(S_n, \mathbf{C}) \rangle.\] Upodobitev \(S_n\) na tem prostoru gotovo ni nerazcepna, saj na primer vsebuje trivialno z večkratnostjo \(\langle \chi_{\mathbf{1}}, \mathop{\mathrm{Ind}}^{S_n}_{P}(\chi_{\mathbf{1}}) \rangle = \langle \chi_{\mathbf{1}}, \chi_{\mathbf{1}} \rangle = 1\). Ta prostor bomo zato še dodatno projicirali na nek podprostor.

Do zdaj smo upoštevali le grupo \(P\) permutacij, ki ohranjajo vrstice izbrane Youngove tabele. Iz tega gledišča je naravno, da obravnavamo tudi grupo permutacij, ki ohranjajo stolpce tabele. Označimo jo s \(Q\). Ravno ta podgrupa je dodatek, ki nam bo dodatno reduciral zgoraj opisano inducirano upodobitev. Pri tem bomo upoštevali, da je \(Q\) sestavljena dualno \(P\), zato jo bomo utežili s predznačno upodobitvijo \(\mathop{\mathrm{sgn}}\).

Definirajmo funkcijo \[\sigma_{\lambda}= (\mathop{\mathrm{sgn}}\cdot 1_Q) * 1_P \in \mathop{\mathrm{fun}}(S_n, \mathbf{C}),\] ki ji pravimo Youngov simetrizator. Njene vrednosti so \[\sigma_{\lambda}(x) = \sum_{p \in P, q \in Q \colon qp = x} \mathop{\mathrm{sgn}}(q).\] Ker velja \(P \cap Q = 1\), ima vsak element \(x \in S_n\) kvečjemu en zapis v obliki \(x = qp\) za \(p \in P, q \in Q\),⁵⁴ torej ima zadnja vsota kvečjemu en neničeln člen in je torej enaka karakteristični funkciji množice \(QP = \{ qp \mid q \in Q, p \in P \}\), uteženi s predznakom člena v \(Q\).

Vzdolž Youngovega simetrizatorja dobimo endospletično \(\mathcal{F}(\sigma_{\lambda})\) regularne upodobitve, katere slika je vektorski prostor \[V_{\lambda} = \mathop{\mathrm{im}}\mathcal{F}(\sigma_{\lambda}) = \langle \sigma_{\lambda}* f \mid f \in \mathop{\mathrm{fun}}(S_n, \mathbf{C}) \rangle,\] ki ga imenujemo Spechtov modul. Na tem prostoru naravno deluje grupa \(S_n\)⁵⁵, dobljeno upodobitev označimo z \(\rho_{\lambda}\). Velja \(V_{\lambda} \neq 0\), saj je \(\sigma_{\lambda}= \sigma_{\lambda}* 1_1 \in V_{\lambda}\).

Zadnja točka seveda sledi iz prvih dveh, saj je število nerazcepnih upodobitev ravno enako številu razčlenitev \(n\). Pred dokazom izreka si oglejmo nekaj zgledov.

Dokaz izreka bomo izpeljali s pomočjo naslednje leme, v kateri igra ključno vlogo delovanje Fourierove transformacije Youngovega simetrizatorja \(\widehat{\sigma_{\lambda}}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}})\) na prostoru \(V_{\lambda}\). V lemi uporabljamo leksikografsko delno urejenost \(<\) na množici vseh razčlenitev.

Preostane nam še dokaz leme.

Tekom dokaza izreka smo premislili, da je \(\sigma_{\lambda}* \sigma_{\lambda}= n_{\lambda} \cdot \sigma_{\lambda}\) za nek skalar \(n_{\lambda} \in \mathbf{C}\). Linearna preslikava \(\mathcal{F}(\sigma_{\lambda})\) slika v vektorski podprostor \(V_{\lambda}\), na tem podprostoru pa deluje kot \[\mathcal{F}(\sigma_{\lambda}) \cdot (\sigma_{\lambda}* f) = \sigma_{\lambda}* \sigma_{\lambda}* f = n_{\lambda} \cdot (\sigma_{\lambda}* f),\] torej kot skalarno množenje z \(n_{\lambda}\). Ta skalar lahko izračunamo iz sledi preslikave \(\mathcal{F}(\sigma_{\lambda})\). V standardni bazi iz karakterističnih funkcij namreč velja \[\mathcal{F}(\sigma_{\lambda}) \cdot 1_g = \sigma_{\lambda}* 1_g = \left( x \mapsto \sigma_{\lambda}(x g^{-1}) \right) = \sum_{x \in S_n} \sigma_{\lambda}(x g^{-1}) \cdot 1_x\] za vsak \(g \in S_n\), torej so diagonalni členi prirejene matrike \(\mathcal{F}(\sigma_{\lambda})\) enaki \(\sigma_{\lambda}(1) = 1\). Od tod izračunamo sled preslikave \(\mathcal{F}(\sigma_{\lambda})\) kot \[n_{\lambda} \cdot \dim V_{\lambda} = \mathop{\mathrm{tr}}\mathcal{F}(\sigma_{\lambda}) = \sum_{g \in S_n} 1 = n!,\] zato v posebnem velja \(n_{\lambda} = n! / \dim V_{\lambda}\). Skalar \(n_{\lambda}\) je torej neničelno racionalno število.

V posebnem lahko tvorimo endospletično \(\mathcal{F}(\sigma_{\lambda}/ n_{\lambda})\) regularne upodobitve, ki je projektorska spletična⁵⁶ na prostor \(V_{\lambda}\). V tej posebni situaciji dobimo torej eksplicitno projekcijo z regularne na nerazcepno upodobitev \(V_{\lambda}\). V standardni bazi ima matrika preslikave \(\mathcal{F}(\sigma_{\lambda}/n_{\lambda})\) racionalne koeficiente. Ker njeni stolpci razpenjajo prostor \(V_{\lambda}\), lahko torej izberemo ortogonalno⁵⁷ bazo \(B_{\lambda} = \{ b_1, b_2, \dots, b_r \}\) prostora \(V_{\lambda}\), v kateri ima vsak vektor \(b_i\) racionalne koeficiente v standardni bazi. Ker grupa \(S_n\) regularno deluje s permutacijami na standardni bazi, imajo torej tudi slike \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(g) \cdot b_i\) racionalne koeficiente v standardni bazi za vsak \(g \in S_n\). Vsako od teh slik pa lahko razvijemo tudi po bazi \(B_{\lambda}\) kot \[\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(g) \cdot b_i = \sum_{b_j \in B_{\lambda}} \frac{\langle \rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(g) \cdot b_i, b_j \rangle}{\langle b_j, b_j \rangle} b_j,\] in pri tem so koeficienti razvoja racionalni. V bazi \(B_{\lambda}\) ima torej vsaka matrika \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(g)\) za \(g \in S_n\) racionalne koeficiente. Upodobitev \(\rho_{\lambda}\) je torej definirana nad poljem \(\mathbf{Q}\).

Vsak Spechtov modul \(V_{\lambda}\) lahko z redukcijo po modulu \(p\) za poljubno praštevilo \(p\) reduciramo do vektorskega prostora nad končnim poljem \(\mathbf{F}_p\). Na ta način dobimo modularno upodobitev \(\rho_{\lambda,p}\) simetrične grupe. Kot smo videli že v primeru \(p = 3\), te upodobitve niso nujno nerazcepne. Izkaže se, da pa ima taka modularna upodobitev enoličen nerazcepen kvocient \(D_{\lambda}\), če za razčlenitev \(\lambda = 1^{i_1} 2^{i_2} \cdots n^{i_n}\) velja \(i_j < p\) za vsak \(j\). Takim ugodnim razčlenitvam pravimo \(p\)-regularne razčlenitve. Izkaže se, da je število \(p\)-regularnih razčlenitev ravno enako številu konjugiranostnih razredov elementov v \(S_n\), katerih red je tuj \(p\). Na ta način dobimo vse modularne upodobitve simetrične grupe, a tega ne bomo dokazali.

Modularni svet je mnogo bolj mističen od kompleksnega. Sodobna teorija upodobitev se povečini ukvarja s tem, kako regularna je kategorija upodobitev v odvisnosti od praštevila \(p\).⁵⁸ V zvezi s tem obstaja mnogo odprtih problemov.

Ta problem je razrešen le za razčlenitve \(\lambda\) z največ dvema deloma, torej s \(k \leq 2\). Za \(k = 3\) sodobna bilijardna domneva (Lusztig-Williamson 2018) predvideva, da se te večkratnosti obnašajo po zakonu nekega zakompliciranega dinamičnega sistema.

Vrednosti karakterjev

Premislili smo že, da so vsi Spechtovi moduli definirani nad \(\mathbf{Z}\), zato so vrednosti karakterjev simetrične grupe vselej cela števila. Poznamo pa celo dokaj preprost način, kako lahko eksplicitno določimo vse vrednosti karakterjev nerazcepnih upodobitev. Izrekli ga bomo v jeziku polinomskega kolobarja \(\mathbf{C}[\mathbf{x}] = \mathbf{C}[x_1, x_2, \dots, x_k]\). Potrebovali bomo nekaj posebnih polinomov iz tega kolobarja, in sicer diskriminanto \[\Delta(\mathbf{x}) = \prod_{1 \leq i < j \leq k} (x_i - x_j)\] ter potenčne vsote \[P_j(\mathbf{x}) = x_1^j + x_2^j + \cdots + x_k^j\] za \(j \in \mathbf{N}\). Za dan polinom \(P(\mathbf{x}) \in \mathbf{C}[\mathbf{x}]\) označimo s \[[P(\mathbf{x})]_{(\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k)}\] njegov koeficient pred monomom \(x_1^{\ell_1} x_2^{\ell_2} \cdots x_k^{\ell_k}\).

Dokaz temelji na poznavanju osnov teorije simetričnih funkcij, ki jih ponavadi spoznamo pri kombinatoričnih predmetih, zato ga brez prehude žalosti izpustimo. Poglejmo pa si nekaj primerov uporabe izreka.

S Frobeniusovo formulo lahko določimo stopnje nerazcepnih upodobitev simetrične grupe. Za to bomo potrebovali koncept kljuke, ki je malo splošnejši od tiste, ki smo jo videli v zadnjem zgledu. Opazujmo Youngov diagram razčlenitve \(\lambda\). Za vsako celico \((i,j)\) diagrama, kjer \(i\) predstavlja vrstico in \(j\) stopec, je kljuka \(H_{\lambda}(i,j)\) množica tistih celic, ki so desno ali pod celico \((i,j)\), vključivši celico \((i,j)\).⁵⁹ Dolžina kljuke \(H_{\lambda}(i,j)\) je enaka številu celic v kljuki, se pravi \(|H_{\lambda}(i,j)|\).

V zvezi s tabelo karakterjev simetrične grupe omenimo še sodobnejši presenetljiv rezultat (Miller 2014), v katerem avtor dokaže, da so vrednosti skoraj vseh karakterjev v skoraj vseh grupnih elementih ničelne. Natančneje, če enakomerno naključno izberemo \(g \in S_n\) in \(\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(S_n)\), potem je \[\lim_{n \to \infty} \mathbf{P}_{g, \pi}\left(\chi_{\pi}(g) = 0\right) = 1.\] Avtor omeni analogno vprašanje glede same tabele karakterjev.

Alternirajoče grupe

Oglejmo si, kako lahko iz tabele karakterjev simetrične grupe skoraj popolnoma določimo tabelo karakterjev alternirajoče grupe \(A_n\).

Določimo najprej konjugiranostne razrede. Naj bo \(\mathcal{C}= \sigma^{A_n} \subseteq A_n\) konjugiranostni razred. Ta množica je torej zaprta za konjugiranje z vsemi sodimi permutacijami. Če velja tudi \(\sigma^{(1 \ 2)} \in \mathcal{C}\), potem je \(\mathcal{C}\) celo konjugiranostni razred v \(S_n\) in torej ustreza neki razčlenitvi števila \(n\). Prav lahko pa se zgodi, da \(\mathcal{C}\) ni zaprt za konjugiranje z \((1 \ 2)\). V tem primeru je množica \(\mathcal{C}\cup \mathcal{C}^{(1 \ 2)}\) konjugiranostni razred permutacije \(\sigma\) v \(S_n\) in zato ustreza neki razčlenitvi števila \(n\). Konjugiranostne razrede grupe \(A_n\) dobimo torej iz konjugiranostnih razredov sodih permutacij v \(S_n\), in sicer določeni razredi v \(S_n\) ostanejo konjugiranostni razredi v \(A_n\), drugi pa se razcepijo na dva konjugiranostna razreda v \(A_n\) enake velikosti. Ni težko prepoznati, kateri razredi se razcepijo.

Poskusimo zdaj na podoben način razumeti še nerazcepne upodobitve grupe \(A_n\). Naj bo \(\lambda\) razčlenitev \(n\), ki ji pritiče nerazcepna upodobitev \(\rho_{\lambda}\) na prostoru \(V_{\lambda}\) s karakterjem \(\chi_{\lambda}\). Opazujmo zožitev karakterja \(\chi_{\lambda}|_{A_n}\) na \(A_n\). Po ortonormiranosti karakterjev v \(S_n\) velja \[\langle \chi_{\lambda}|_{A_n}, \chi_{\lambda}|_{A_n} \rangle + \frac{1}{|A_n|} \sum_{\sigma \in S_n \backslash A_n} |\chi_{\lambda}(\sigma)|^2 = \frac{1}{|A_n|} \cdot |S_n| \langle \chi_{\lambda}, \chi_{\lambda} \rangle = 2.\] Torej je \(\langle \chi_{\lambda}|_{A_n}, \chi_{\lambda}|_{A_n} \rangle \in \{ 1, 2 \}\), zato je \(\rho_{\lambda}|_{A_n}\) bodisi nerazcepna upodobitev bodisi vsota dveh neizomorfnih nerazcepnih upodobitev. Drugi primer nastopi, če in samo če je \(\chi_{\lambda}|_{S_n \backslash A_n} = 0\), kar je ekvivalentno izomorfizmu \(\rho_{\lambda} \cong \mathop{\mathrm{sgn}}\otimes \rho_{\lambda}\). Zadnja upodobitev je izomorfna \(\rho_{\lambda^\prime}\), zato se upodobitev \(\rho_{\lambda}\) razcepi na \(A_n\), če in samo če je \(\lambda = \lambda^\prime\), se pravi da je \(\lambda\) simetrična razčlenitev. V tem primeru lahko zapišemo \(\chi_{\lambda}|_{A_n} = \alpha + \beta\), kjer sta \(\alpha, \beta\) nerazcepna karakterja \(A_n\). Ni se težko prepričati, da zanju velja \(\beta(\sigma) = \alpha(\sigma^{(1 \ 2)})\) za vsak \(\sigma \in A_n\), torej sta v posebnem upodobitvi, na katere razpade \(\rho_{\lambda}\), enake razsežnosti. Konkretne vrednosti karakterjev \(\alpha\) in \(\beta\) lahko izračunamo s pomočjo ortogonalnosti karakterjev.

S štetjem konjugiranostnih razredov v \(A_n\) se ni težko prepričati, da na opisan način dobimo vse nerazcepne upodobitve alternirajoče grupe. Podrobnosti so podrobno prikazane v (Fulton-Harris 2004).

Splošne linearne grupe

Opazujmo splošno linearno grupo \[G_p = {\textstyle \mathop{\mathrm{GL}}_2(\mathbf{F}_p)} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbf{F}_p, \ ad - bc \neq 0 \right\}\] obrnljivih matrik razsežnosti \(2 \times 2\) nad končnim poljem \(\mathbf{F}_p\), kjer je \(p\) praštevilo. Njeno kategorijo upodobitev bomo obravnavali nad \(\mathbf{C}\). Še pred tem pa moramo bolje spoznati to grupo.

Osnovne poteze

Grupo \(G_p\) lahko razumemo s pomočjo njenih podgrup \[\begin{aligned} B_p &= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \mid a,d \in \mathbf{F}_p^*, \ b \in \mathbf{F}_p \right\}, \\ D_p &= \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \mid a,d \in \mathbf{F}_p^* \right\}, \\ U_p &= \left\{ \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid b \in \mathbf{F}_p \right\}.\end{aligned}\] Grupa \(B_p\) je Borelova podgrupa, grupa \(U_p\) pa unipotentna podgrupa. Seveda je \(B_p/U_p = D_p\). Grupa \(G_p\) ima torej vrsto podgrup \[G_p \geq B_p \geq U_p \geq 1.\] Borelova podgrupa ni edinka v \(G_p\), ima pa kvocientna množica \(G_p/B_p\) odsekov vsekakor pomembno vlogo. Grupa \(G_p\) namreč deluje na ravnini \(\mathbf{F}_p^2\) z matričnim množenjem in za tem na množici premic v tej ravnini, se pravi \[\mathbf{P}^1(\mathbf{F}_p) = \{ \ell \leq \mathbf{F}_p^2 \mid \dim \ell = 1 \},\] čemur pravimo projektivna premica nad \(\mathbf{F}_p\). Grupa \(G_p\) deluje na tej premici tranzitivno in stabilizator premice \(e_1\) je ravno Borelova podgrupa \(B_p\). Projektivno premico lahko zato enačimo z množico \(G_p/B_p\). V posebnem tako dobimo homomorfizem \[\Pi \colon G_p \to \mathop{\mathrm{Sym}}(\mathbf{P}^1(\mathbf{F}_p)) = S_{p+1},\] o katerem bomo več povedali nekoliko kasneje. Za zdaj ne spreglejmo, da od tod takoj izračunamo \(|G_p/B_p| = p+1\) in s tem \[|G_p| = |G_p/B_p| \cdot |B_p| = (p+1) \cdot (p-1)^2 p.\]

Grupa \(G_p\) je opremljena tudi z determinantnim homomorfizmom \[\det \colon G_p \to \mathbf{F}_p^*.\] Jedro tega homomorfizma je specialna linearna grupa \[{\textstyle \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbf{F}_p, \ ad - bc = 1 \right\}.\] Velja \(|\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)| = |G_p|/(p-1) = (p+1)p(p-1)\). Izpostavimo dva posebna elementa te grupe, \[S_+ = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad S_- = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.\] Levo množenje s tema dvema elementoma ustreza izvajanju vrstičnih operacij na dani matriki, \[S_+ \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ c & d \end{pmatrix}, \quad S_- \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c+a & d+b \end{pmatrix}\] Ker lahko vsako matriko v \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)\) z vrstičnimi operacijami pripeljemo do identitete, sklenemo, da elementa \(S_+\), \(S_-\) generirata grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)\).

Nazadnje upoštevajmo oba posebna homomorfizma, \(\Pi\) in \(\det\). Presek njunih jeder sestoji iz skalarnih matrik z determinanto \(1\), torej je enak \(\{ I, -I \}\). Ta podgrupa je edinka v \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)\), zato lahko tvorimo kvocient \[{\textstyle \mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{F}_p)} = \frac{\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)}{\{ I, -I \}}.\]

Družina grup \(G_p\) za praštevila \(p\) je torej dobra prijateljica ene od fundamentalnih družin končnih enostavnih grup.

Konjugiranostni razredi

Predpostavimo, da je \(p > 2\). Konjugiranostni razredi v \(G_p\) so enaki podobnostnim razredom matrik. Te najlažje sistematično obravnavamo prek lastnosti njihovih karakterističnih polinomov, ki so stopnje \(2\). Bodisi je ta polinom razcepen (z eno dvojno ničlo ali dvema različnima v \(\mathbf{F}_p\)) bodisi je nerazcepen. V primeru dvojnih ničel obravnavamo še možnost, da matrika morda ni diagonalizabilna. Na ta način dobimo naslednje konjugiranostne razrede.

1. Skalarji. Naj ima element \(g \in G_p\) karakteristični polinom z dvojno ničlo \(a \in \mathbf{F}_p^*\) in je hkrati diagonalizabilen. Tedaj je \(g\) skalarna matrika \[\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}.\] Vsak tak element je centralen v \(G_p\), zato je njegov konjugiranostni razred velikosti \(1\). Vseh takih razredov je \(p-1\).

2. Nediagonalizabilni elementi. Naj ima element \(g \in G_p\) karakteristični polinom z dvojno ničlo \(a \in \mathbf{F}_p^*\) in hkrati ni diagonalizabilen. Tedaj je po Jordanovi formi \(g\) podoben matriki \[\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}.\] Centralizator vsakega takega elementa je enak \[C_p = \left\{ \begin{pmatrix} x & t \\ 0 & x \end{pmatrix} \mid x \in \mathbf{F}_p^*, \ t \in \mathbf{F}_p \right\} = S_p \times U_p,\] kjer je \(S_p\) množica skalarnih matrik. Velja \(|C_p| = (p-1)p\). Konjugiranostni razred je torej velikosti \(p^2 - 1\). Vseh takih razredov je \(p-1\).

3. Razcepni polenostavni elementi. Naj ima element \(g \in G_p\) karakteristični polinom z dvema različnima ničlama \(a,b \in \mathbf{F}_p^*\). Tak element je diagonalizabilen in zato podoben \[\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}.\] Centralizator vsakega takega elementa je enak \[T_r = D_p = \left\{ \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} \mid x, y \in \mathbf{F}_p^* \right\}.\] in je zato moči \((p-1)^2\). Konjugiranostni razred je torej velikosti \(p(p+1)\). Vseh takih razredov je \(\binom{p-1}{2} = (p-1)(p-2)/2\).

4. Nerazcepni polenostavni elementi. Naj ima element \(g \in G_p\) nerazcepen karakteristični polinom. Ta polinom torej nima ničel v \(\mathbf{F}_p\), ima pa ničle v razširitvi \(F\) tega polja z ničlama karakterističnega polinoma. Ker je \(p > 2\), sta ti dve ničli različni.⁶⁰ Razširitev \(F/\mathbf{F}_p\) je stopnje \(2\), zato jo lahko predstavimo kot \[F \cong \frac{\mathbf{F}_p[X]}{(X^2 - \epsilon)} = \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon}),\] kjer \(\epsilon \in \mathbf{F}_p^*\) ni kvadrat v \(\mathbf{F}_p\). To polje je opremljeno z Galoisjevim avtomorfizmom \(\sigma \colon \sqrt{\epsilon} \mapsto - \sqrt{\epsilon}\) reda \(2\). Če je \(\lambda\) lastna vrednost \(g\), je torej tudi \(\lambda^{\sigma}\) lastna vrednost in pripadajoča lastna vektorja sta \(v\) in \(v^{\sigma}\). Zamenjajmo bazo v \(w_2 = v + v^{\sigma}\) in \(w_1 = (v - v^{\sigma})/\sqrt{\epsilon}\). Ta dva vektorja sta invariantna za avtomorfizem \(\sigma\), zato imata obe komponenti v \(\mathbf{F}_p\). V tej bazi ima element \(g\) matriko \[\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix},\] kjer je \(a = (\lambda + \lambda^{\sigma})/2 \in \mathbf{F}_p\) in \(b = (\lambda - \lambda^{\sigma})/(2 \sqrt{\epsilon}) \in \mathbf{F}_p^*\). Centralizator vsakega takega elementa je enak \[T_{nr} = \left\{ \begin{pmatrix} x & \epsilon y \\ y & x \end{pmatrix} \mid x, y \in \mathbf{F}_p, \ (x,y) \neq (0,0) \right\}.\] Konjugiranostni razred je torej velikosti \(p(p-1)\). Vseh takih razredov je \(p (p-1)/2\).⁶¹

Konjugiranostni razredi v \(G_p\): njihov tip, število razredov določenega tipa in velikost razreda

	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix}\)
število razredov	\(p-1\)	\(p-1\)	\((p-1)(p-2)/2\)	\(p(p-1)/2\)
velikost razreda	\(1\)	\(p^2 - 1\)	\(p(p+1)\)	\(p(p-1)\)

Za velika praštevila \(p\) velja \(|G_p| \sim p^4\). Hkrati iz izračunov števila razredov in njihovih velikosti vidimo, da je število polenostavnih elementov asimptotsko primerljivo s \(p^4\), razdeljeno približno na polovico med razcepnimi in nerazcepnimi elementi. Generični elementi v \(G_p\) so za velika praštevila torej polenostavni.

Seštejemo število vseh konjugiranostnih razredov in dobimo \[\mathop{\mathrm{k}}(G_p) = p^2 - 1.\] Grupa \(G_p\) ima torej \(p^2-1\) nerazcepnih kompleksnih upodobitev.

Preden nadaljujemo z natančnim določanjem teh upodobitev, se še enkrat ozrimo na klasifikacijo konjugiranostnih razredov. Tekom določanja velikosti razredov smo naleteli na dva posebna centralizatorja polenostavnih elementov, in sicer \(T_r\) in \(T_{nr}\). Ta dva centralizatorja bosta igrala pomembno vlogo v teoriji upodobitev grupe \(G_p\). Prvemu pravimo razcepni torus, drugemu pa nerazcepni torus. Za razcepni torus velja \[T_r \cong \mathbf{F}_p^* \times \mathbf{F}_p^*,\] nerazcepni torus pa identificiramo kot⁶² \[T_{nr} \cong \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^*, \quad \begin{pmatrix} x & \epsilon y \\ y & x \end{pmatrix} \mapsto x + \sqrt{\epsilon} y.\] Obe grupi, \(\mathbf{F}_p^*\) in \(\mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^*\), sta ciklični grupi. Prva je moči \(p-1\), druga pa moči \(p^2 - 1\).

Tabela karakterjev, 1. del

Predpostavimo, da je \(p > 2\). Določimo najprej enorazsežne upodobitve grupe \(G_p\). Ker je \([G_p, G_p] = \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p) = \ker (\det)\), vse enorazsežne upodobitve dobimo tako, da najprej uporabimo determinanto \(\det \colon G_p \to \mathbf{F}_p^*\), za tem pa poljubno upodobitev abelove grupe \(\mathbf{F}_p^*\). Za vsak homomorfizem \(\chi \colon \mathbf{F}_p^* \to \mathbf{C}^*\) dobimo torej enorazsežno upodobitev \(\chi \circ \det\) grupe \(G_p\) in vse enorazsežne upodobitve so take oblike. Vseh teh upodobitev je \(|\mathbf{F}_p^*| = p-1\).

Enorazsežni karakterji \(G_p\)

	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix}\)
\(\chi \circ \det\)	\(\chi(a)^2\)	\(\chi(a)^2\)	\(\chi(a) \chi(b)\)	\(\chi(a^2 - \epsilon b^2)\)

Nadaljujmo s pomočjo homomorfizma \(\Pi \colon G_p \to S_{p+1}\), ki opisuje permutacijsko delovanje \(G_p\) na projektivni premici. Od tod dobimo permutacijsko upodobitev \(G_p\) na \(\mathbf{C}[\mathbf{P}^1(\mathbf{F}_p)]\). Kot smo videli že v primeru simetrične grupe, ta upodobitev ni nerazcepna, saj vedno vsebuje \(\mathbf{1}\). Naj bo \(\mathop{\mathrm{St}}\) komplement \(\mathbf{1}\) v tej permutacijski upodobitvi. Ta komplement je do izomorfizma natako enolično določen in mu pravimo Steinbergova upodobitev.⁶³ Vrednosti karakterjev \(\mathop{\mathrm{St}}\) ni težko izračunati. Račun pokaže \(\langle \mathop{\mathrm{St}}, \mathop{\mathrm{St}}\rangle = 1\), zato je \(\mathop{\mathrm{St}}\) nerazcepna upodobitev.

Steinbergov karakter \(G_p\)

	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix}\)
\(\mathop{\mathrm{St}}\)	\(p\)	\(0\)	\(1\)	\(-1\)

Steinbergovo upodobitev lahko tenzoriramo s poljubno enorazsežno in dobimo \(\mathop{\mathrm{St}}\otimes (\chi \circ \det)\), kar označimo krajše kot \(\mathop{\mathrm{St}}(\chi)\). Za \(\chi = \mathbf{1}\) dobimo običajno Steinbergovo upodobitev. Vse te upodobitve so tudi nerazcepne.

Posplošeni Steinbergov karakter \(G_p\)

	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix}\)
\(\mathop{\mathrm{St}}(\chi)\)	\(p \chi(a)^2\)	\(0\)	\(\chi(a) \chi(b)\)	\(- \chi(a^2 - \epsilon b^2)\)

Do zdaj smo našteli \(2(p-1)\) nerazcepnih upodobitev, iščemo pa jih \(p^2 - 1\). Še veliko jih manjka! Sledeč filozofiji Artina in Brauerja nadaljne nerazcepne upodobitve iščemo z indukcijo iz podgrup \(G_p\). Opazujmo Borelovo podgrupo \(B_p\). Ta grupa je opremljena s projekcijo na razcepni torus \[B_p \to B_p / U_p = D_p = T_r = \mathbf{F}_p^* \times \mathbf{F}_p^*.\] Nerazcepne upodobitve razcepnega torusa so ravno produkti \(\chi_1 \times \chi_2\), kjer sta \(\chi_1\), \(\chi_2\) nerazcepni upodobitvi prvega oziroma drugega faktorja torusa. Na ta način dobimo nerazcepne upodobitve Borelove podgrupe, \[\rho(\chi_1, \chi_2) \colon B_p \to \mathbf{C}^*, \quad \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \mapsto \chi_1(a) \chi_2(d).\] Vsako od teh upodobitev induciramo na grupo \(G_p\) in dobimo upodobitev \[\pi(\chi_1, \chi_2) = \textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}^{G_p}_{B_p}(\rho(\chi_1, \chi_2))\] razsežnosti \(|G_p/B_p| = p+1\). Karakter take upodobitve lahko izračunamo s formulo za vrednosti karakterjev inducirane upodobitve.

Karakter upodobitve \(\pi(\chi_1, \chi_2)\) grupe \(G_p\)

	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix}\)
\(\pi(\chi_1, \chi_2)\)	\((p+1) \chi_1(a) \chi_2(a)\)	\(\chi_1(a) \chi_2(a)\)	\(\chi_1(a) \chi_2(b) + \chi_2(a) \chi_1(b)\)	\(0\)

Od tod po preprostem računu določimo normo karakterja kot \[|| \chi_{\pi(\chi_1, \chi_2)} ||^2 = \begin{cases} 2 & \chi_1 = \chi_2, \\ 1 & \chi_1 \neq \chi_2. \end{cases}\] Za \(\chi_1 \neq \chi_2\) je upodobitev \(\pi(\chi_1, \chi_2)\) torej nerazcepna. Iz karakterja opazimo, da je \(\rho\) simetrična v svojih argumentih, se pravi \(\pi(\chi_1, \chi_2) \cong \pi(\chi_2, \chi_1)\). Na ta način torej dobimo \(\binom{p-1}{2} = (p-1)(p-2)/2\) nerazcepnih upodobitev grupe \(G_p\). Tem upodobitvam pravimo upodobitve glavne vrste.⁶⁴ V primeru, ko je \(\chi_1 = \chi_2\), iz vrednosti karakterjev opazimo izomorfizem \(\pi(\chi, \chi) \cong \mathop{\mathrm{St}}(\chi) \oplus (\chi \circ \det)\), torej tukaj ne najdemo nobenih novih nerazcepnih upodobitev.

Tabela karakterjev, 2. del

Opazujmo zdaj še upodobitve, ki jih dobimo z indukcijo iz nerazcepnega torusa. Te so nekoliko bolj zapletene, zato bomo pristopili bolj previdno. Naj bo \[\theta \colon T_{nr} \cong \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^* \to \mathbf{C}^*\] poljubna enorazsežna upodobitev. Izračunajmo karakter indukcije upodobitve \(\theta\) nerazcepnega torusa. Uporabimo formulo za karakter inducirane upodobitve. Naj bo \(R\) množica predstavnikov desnih odsekov \(T_{nr}\) v \(G_p\). Za \(g \in G_p\) je \(r g r^{-1} \in T_{nr}\) za nek \(r \in R\), če in samo če je \(r g r^{-1}\) bodisi skalar bodisi nerazcepen polenostaven element, kar je enakovredno temu, da je \(g\) bodisi skalar bodisi nerazcepen polenostaven element. Za skalarje, ki jih interpretiramo kot elemente \(g = a \in \mathbf{F}_p^* \subseteq \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^*\), velja \[\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta)(a) = |G_p : T_{nr}| \cdot \theta(a) = p(p-1) \theta(a).\] Za nerazcepne polenostavne elemente, ki jih interpretiramo kot elemente \(g = a + \sqrt{\epsilon} b \in \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^*\), pa velja \(g^{G_p} \cap T_{nr} = \{ g, g^{\sigma} \}\), zato sta v formuli za izračun induciranega karakterja relevantna le dva člena in dobimo \[\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta)(a + \sqrt{\epsilon} b) = \theta(a + \sqrt{\epsilon} b) + \theta(a - \sqrt{\epsilon} b).\] Z avtomorfizmom \(\sigma \in \mathop{\mathrm{Gal}}(\mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})/\mathbf{F}_p)\) lahko delujemo na upodobitvi s predpisom \(\theta^\sigma(x) = \theta(x^\sigma) = \theta(x^p)\). Torej je zadnja vrednost karakterja enaka \(\theta(g) + \theta^\sigma(g)\).

Karakter upodobitve \(\mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta)\) grupe \(G_p\)

	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix}\)
\(\mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta)\)	\(p(p-1) \theta(a)\)	\(0\)	\(0\)	\(\theta(a + \sqrt{\epsilon}b) + \theta(a - \sqrt{\epsilon}b)\)

Iz vrednosti karakterjev lahko izračunamo normo induciranega karakterja. Vrednost \(|| \mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta) ||^2\) je enaka \[\frac{1}{|G_p|} \left( \sum_{g \in \mathbf{F}_p^*} (p (p-1) |\theta(g)|)^2 + \sum_{g \in \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^* \backslash \mathbf{F}_p^*} \frac{p(p-1)}{2} \cdot |\theta(g) + \theta^{\sigma}(g)|^2 \right).\] Zadnjo vsoto lahko po razvoju kvadrata zapišemo kot \[\frac{p(p-1)}{2} \cdot \left( 2 (p^2 - p) + 2 \mathop{\mathrm{Re}}\left( \sum_{g \in \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^*} \theta(g) \overline{\theta^{\sigma}(g)} - \sum_{g \in \mathbf{F}_p^*} |\theta(g)|^2 \right) \right).\] Prvo notranjo vsoto prepoznamo kot skalarni produkt upodobitev \(\theta\) in \(\theta^{\sigma}\) v grupi \(\mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})\), ki je enak bodisi \(0\) bodisi \(1\) po ortogonalnosti nerazcepnih karakterjev. S tem je norma \(|| \mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta) ||^2\) enaka \[\frac{1}{|G_p|} \left( p^2(p-1)^3 + p^2(p-1)^2 + p(p-1) \cdot \left( (p^2 - 1) \langle \theta, \theta^{\sigma} \rangle - (p-1) \right) \right),\] kar se poenostavi do \[|| {\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta)} ||^2 = p-1 + \langle \theta, \theta^{\sigma} \rangle = \begin{cases} p & \theta = \theta^\sigma, \\ p-1 & \theta \neq \theta^{\sigma}. \end{cases}\] Upodobitev \(\mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta)\) je torej daleč od nerazcepne.

Pred nadaljevanjem postojmo pri pogoju \(\theta = \theta^{\sigma}\), ki razdeli inducirane upodobitve na dva naravna razreda. Ta pogoj lahko enakovredno zapišemo kot \(\theta(x) = \theta(x^{p})\) za vsak \(x \in \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^*\), kar je, ker je \(\mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^*\) ciklična grupa, enako kot \(\theta(x^{p-1}) = 1\). Vrednost \(\theta\) je torej trivialna na množici \(\{ x^{p-1} \mid x \in \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^* \}\), ki jo prepoznamo ravno kot jedro determinante \(\ker(\det) = \{ x \in \mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})^* \mid x^{p+1} = 1 \}\). Pogoj \(\theta = \theta^{\sigma}\) je torej enakovreden temu, da se \(\theta\) faktorizira prek determinante, se pravi da je oblike \(\theta = \chi \circ \det\) za nek karakter \(\chi \colon \mathbf{F}_p^* \to \mathbf{C}^*\). Vseh takih upodobitev je \(p-1\). Upodobitve \(\theta\), ki se ne faktorizirajo prek determinante, torej za katere velja \(\theta \neq \theta^{\sigma}\), se imenujejo regularne. Regularne upodobitve prihajajo torej v parih \((\theta, \theta^\sigma)\). Število Galoisjevih orbit regularnih upodobitev je zato enako \(((p^2 - 1) - (p-1))/2 = p(p-1)/2\).

Glede na to, da inducirana upodobitev iz nerazcepnega torusa ni nerazcepna, lahko poskusimo inducirati še iz kakšne druge podgrupe. Naravni kandidat, ki nam še preostane, je centralizator nediagonalizabilnega elementa, se pravi grupa \(C_p = S_p \times U_p\). Izberimo upodobitvi \[\chi \colon S_p \cong \mathbf{F}_p^* \to \mathbf{C}^*, \quad \psi \colon U_p \cong \mathbf{F}_p \to \mathbf{C}^*\] in tvorimo produktno upodobitev \(\chi \times \psi\) grupe \(C_p\). To upodobitev induciramo na grupo \(G_p\). S formulo za izračun karakterjev inducirane upodobitve ni težko določiti njenega karakterja. Naj bo \(R\) množica predstavnikov desnih odsekov \(C_p\) v \(G_p\). Za \(g \in G_p\) je \(r g r^{-1} \in C_p\) za nek \(r \in R\), če in samo če je \(g\) bodisi skalar bodisi nediagonalizabilen element. Za skalarje velja \[{\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\chi \times \psi) } \left( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \right) = |G_p : C_p| \cdot \chi(a) = (p^2 - 1) \chi(a).\] Za nediagonalizabilen element \(g\) pa velja \(g^{G_p} \cap C_p = g U_p \backslash S_p\), zato je v formuli za induciran karakter relevantnih le \(p-1\) členov in dobimo \[{\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\chi \times \psi)} \left( \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} \right) = \sum_{t \in \mathbf{F}_p^*} (\chi \times \psi) \left( \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = \sum_{t \in \mathbf{F}_p^*} \chi(a) \psi(t).\] Zadnjo vsoto lahko prepišemo kot \[\chi(a) \cdot \left( \sum_{t \in \mathbf{F}_p} \psi(t) - 1 \right) = \chi(a) \cdot \left( p \cdot \langle \psi, \mathbf{1} \rangle - 1 \right) = \begin{cases} (p-1) \chi(a) & \psi = \mathbf{1}, \\ - \chi(a) & \psi \neq \mathbf{1}. \end{cases}\] Inducirani karakter je torej odvisen od \(\psi\) le preko veljavnosti enakosti \(\psi = \mathbf{1}\).

Karakter upodobitve \(\mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\chi \times \psi)\) grupe \(G_p\)

	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix}\)
\(\mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\chi \times \psi)\)	\((p^2 - 1) \chi(a)\)	\((p \cdot 1_{\psi = \mathbf{1}} - 1) \chi(a)\)	\(0\)	\(0\)

Iz vrednosti karakterjev izračunamo normo \[||{\textstyle \mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\chi \times \psi)} ||^2 = \begin{cases} 2(p-1) & \psi = \mathbf{1}, \\ p & \psi \neq \mathbf{1}. \end{cases}\] Upodobitev \(\mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\chi \times \psi)\) je torej spet daleč od nerazcepne.

Primerjajmo obe inducirani upodobitvi. Skalarni produkt njunih karakterjev lahko izračunamo tako, da seštejemo le prispevke po skalarnih elementih, saj so vsi ostali členi ničelni. Dobimo \[{\textstyle \langle \mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta), \mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\chi \times \psi) \rangle} = \frac{1}{|G_p|} \sum_{a \in \mathbf{F}_p^*} p(p-1) \theta(a) \cdot (p^2 - 1) \overline{\chi(a)},\] kar prepoznamo kot \[(p-1) \cdot \langle \theta |_{S_p}, \chi \rangle = \begin{cases} 0 & \chi \neq \theta |_{S_p}, \\ p-1 & \chi = \theta |_{S_p}. \\ \end{cases}\] Če torej izberemo \(\chi = \theta |_{S_p}\), je skalarni produkt med obema upodobitvama enak \(p-1\). Izračunali smo tudi že normi obeh upodobitev, obe sta blizu \(\sqrt{p}\). V luči Cauchy-Schwartzove neenakosti sta karakterja obeh induciranih upodobitev kot vektorja torej zelo blizu temu, da bi bila vzporedna in s tem enaka. Najtesnejšo zvezo med njima dobimo, če minimiziramo normi obeh, torej če vzamemo za \(\theta\) regularen karakter in za \(\psi\) poljuben netrivialen karakter. S to izbiro opazujmo virtualen karakter \[\textstyle \zeta_{\theta} = \mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\theta |_{S_p} \times \psi) - \mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta) \in R(G_p).\] Po že opravljenih računih je norma tega virtualnega karakterja res minimalna, \[\textstyle \langle \zeta_{\theta}, \zeta_{\theta} \rangle = ||\mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\theta |_{S_p} \times \psi)||^2 + ||\mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta)||^2 - 2 \langle \mathop{\mathrm{Ind}}_{T_{nr}}^{G_p}(\theta), \mathop{\mathrm{Ind}}_{C_p}^{G_p}(\theta |_{S_p} \times \psi) \rangle = 1.\] Torej je bodisi \(\zeta_{\theta}\) bodisi \(-\zeta_{\theta}\) nerazcepen karakter. Ker velja \(\zeta_{\theta}(1) = p-1\), je \(\zeta_{\theta}\) nerazcepen karakter.

Karakter \(\zeta_{\theta}\) grupe \(G_p\)

	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix}\)
\(\zeta_{\theta}\)	\((p-1) \theta(a)\)	\(-\theta(a)\)	\(0\)	\(- \theta(a + \sqrt{\epsilon} b) - \theta(a - \sqrt{\epsilon} b)\)

Na ta način za vsak regularen karakter \(\theta\) nerazcepnega torusa dobimo nerazcepno upodobitev s karakterjem \(\zeta_{\theta}\). Taki upodobitvi pravimo ostna upodobitev.⁶⁵ Z izračunom skalarnih produktov se ni težko prepričati, da sta dve taki upodobitvi izomorfni, če in samo če sta regularna karakterja v isti Galoisjevi orbiti. Število ostnih upodobitev je zato enako \(p(p-1)/2\). Poudarimo, da smo ostne upodobitve konstruirali le implicitno prek indukcij. Z nekaj truda bi lahko izpeljali eksplicitno konstrukcijo teh upodobitev. Izkaže se, da ostnih upodobitev ni mogoče opisati kot neposredno induciranih iz podgrup \(G_p\).⁶⁶

Povzemimo. Skupaj smo našli naslednje upodobitve:

• linearne: \(p-1\) upodobitev stopnje \(1\),

• Steinbergove: \(p-1\) upodobitev stopnje \(p\),

• glavne vrste: \((p-1)(p-2)/2\) upodobitev stopnje \(p+1\),

• ostne: \(p(p-1)/2\) upodobitev stopnje \(p-1\).

S tem smo našteli \(p^2-1\) nerazcepnih upodobitev in zatorej vse nerazcepne upodobitve grupe \(G_p\).

Tabela karakterjev \(G_p\)

	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix} a & \epsilon b \\ b & a \end{pmatrix}\)
\(\chi \circ \det\)	\(\chi(a)^2\)	\(\chi(a)^2\)	\(\chi(a) \chi(b)\)	\(\chi(a^2 - \epsilon b^2)\)
\(\mathop{\mathrm{St}}(\chi)\)	\(p \chi(a)^2\)	\(0\)	\(\chi(a) \chi(b)\)	\(- \chi(a^2 - \epsilon b^2)\)
\(\pi(\chi_1, \chi_2)\)	\((p+1) \chi_1(a) \chi_2(a)\)	\(\chi_1(a) \chi_2(a)\)	\(\chi_1(a) \chi_2(b) + \chi_2(a) \chi_1(b)\)	\(0\)
\(\zeta_{\theta}\)	\((p-1) \theta(a)\)	\(-\theta(a)\)	\(0\)	\(- \theta(a + \sqrt{\epsilon} b) - \theta(a - \sqrt{\epsilon} b)\)

Izračunano tabelo karakterjev grupe \(G_p\) lahko uporabimo, da z njo določimo še tabelo karakterjev grupe \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{F}_p)\).

Matrike višjih razsežnosti

Argumente, ki smo jih videli v tem razdelku, bi lahko posplošili na matrike večjih razsežnosti in tako (s precej več truda) izračunali generično tabelo karakterjev grupe \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{F}_q)\), kot je storil (Green 1955). Zopet dobimo glavno vrsto upodobitev, tokrat inducirano induktivno iz podgrup \(\mathop{\mathrm{GL}}_m(\mathbf{F}_q)\) za \(m < n\). Pri tem je relevantno, da to lahko naredimo na več načinov, na primer za vsako razčlenitev števila \(n = m_1 + m_2 + \cdots + m_k\) lahko v \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{F}_q)\) vidimo bločnodiagonalni direktni produkt grup \[\textstyle \mathop{\mathrm{GL}}_{m_1}(\mathbf{F}_q) \times \mathop{\mathrm{GL}}_{m_2}(\mathbf{F}_q) \times \cdots \times \mathop{\mathrm{GL}}_{m_k}(\mathbf{F}_q).\] Teorija upodobitev \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{F}_q)\) zato vključuje nekaj kompleksnosti teorije upodobitev simetrične grupe \(S_n\). Tudi v splošnem primeru dobimo ostne upodobitve, in sicer s pomočjo indukcije iz Galoisjevih razredov regularnih upodobitev nerazcepnega torusa, ki ga lahko predstavimo kot končno polje \(\mathbf{F}_{q^n}\).

Ni pa tako enostavno pridobiti tudi tabele karakterjev družine enostavnih grup \(\mathop{\mathrm{PSL}}_n(\mathbf{F}_q)\) ali njene prijateljice \(E_8(\mathbf{F}_q)\). Seveda lahko posamezne tabele za specifične vrednosti \(n\) in \(q\) izračunamo,⁶⁷ ampak končni cilj je imeti generične tabele karakterjev, kot smo to dosegli za \(G_p = \mathop{\mathrm{GL}}_2(\mathbf{F}_p)\). Za razumevanje teorije upodobitev teh grup imamo na voljo matematično zahtevno Deligne-Lusztigovo teorijo, ki upodobitve končnih grup sestavlja s pomočjo upodobitev prirejenih algebraičnih grup nad algebraično zaprtim poljem, na primer \(\mathop{\mathrm{SL}}_n(\overline{\mathbf{F}_p})\), in sicer te upodobitve izhajajo iz delovanja na \(\ell\)-adičnih kohomoloških grupah prirejenih raznoterosti. Iz te teorije lahko razumemo del generične tabele karakterjev, na primer poznamo vse stopnje nerazcepnih upodobitev, ne poznamo pa vseh vrednosti vseh karakterjev.

Aplikacije

Avstralski matematik Geordie Williamson je na svojem plenarnem predavanju na Mednarodnem matematičnem kongresu leta 2018 opisal teorijo upodobitev na naslednji način.

The idea is that groups in mathematics are everywhere, but groups are nonlinear objects and are rather complicated. We attempt to linearize in some way by taking, for example, actions on a space of functions. We understand what can happen in the linear world by representation theory. Then we hope to go back to our original problem.

V tem poglavju si bomo pogledali nekaj konkretnih aplikacij teorije upodobitev, ki na prvi pogled nimajo nobene povezave z upodobitvami, nazadnje pa je za njihovo razumevanje ključna. Pričeli bomo z abelovimi grupami. V tem primeru aplikacijam teorije upodobitev ponavadi rečemo harmonična analiza. To zgodbo bomo potem razširili še v nekomutativen svet.

Aritmetična zaporedja

Aritmetična zaporedja v gostih množicah

Za poljuben \(n \in \mathbf{N}\) opazujmo množico celih števil \(\{ 1, 2, \dots, n \}\) . Vsaki njeni podmnožici \(A\) lahko priredimo gostoto \(\delta = |A|/n\). Kadar je \(A\) visoke gostote, pričakujemo, da bomo v njej lahko našli veliko vzorcev različnih vrst, ki upoštevajo strukturo seštevanja ali množenja v množici celih števil. Eden od temeljnih takih vzorcev v množici celih števil so aritmetična zaporedja, se pravi zaporedja oblike \[x, \ x+y, \ x+2y, \dots, \ x + (k-1)y\] za \(x,y \in \mathbf{Z}\), \(k \in \mathbf{N}\). Število \(k\) je dolžina tega zaporedja in opazujemo seveda le zaporedja dolžine vsaj \(3\). Izkaže se, da je ta struktura vselej prisotna, neodvisno od izbire konkretne množice \(A\), če je le \(n\) dovolj velik in gostota \(\delta\) pozitivna.

Dokaz tega izreka je kombinatoričen in tehnično precej zahteven. Mi si bomo ogledali poseben primer za \(k = 3\), torej za obstoj \(3\)-členih aritmetičnih zaporedij. Za ta primer bomo izpeljali celo nekoliko močnejšo izjavo, katere dokaz bo slonel na teoriji upodobitev.

Harmonična analiza

Projekcija v \(\mathbf{F}_p\)

Rothov izrek se sicer tiče podmnožice celih števil, ampak ker to množico filtriramo s podmnožicami \(\{1,2,\dots,n\}\), lahko izberemo neko praštevilo \(p \geq n\) in dogajanje opazujemo v projekciji na kvocient \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}= \mathbf{F}_p\). Pri tem moramo biti nekoliko previdni, saj so aritmetična zaporedja v \(\mathbf{F}_p\) lahko nekoliko nenavadna.

Če torej rešimo Rothov problem za podmnožice \(\mathbf{F}_p\) namesto za podmnožice \(\{1,2,\dots,n\}\), moramo biti previdni, saj dobljenega aritmetičnega zaporedja morda ne bomo mogli dvigniti iz \(\mathbf{F}_p\) v \(\mathbf{Z}\). Tej težavi se lahko izognemo tako, da izberemo praštevilo \(p\) z lastnostjo \(p > 2n\). Ni se težko prepričati, da v tem primeru vsako aritmetično zaporedje s \(3\) členi v \(\{ 1, 2, \dots, n \} \subseteq \mathbf{F}_p\) lahko dvignemo do aritmetičnega zaporedja v \(\{1,2,\dots,n\}\). Poleg tega želimo, da se gostota množice \(A\) pri projekciji iz \(\{1,2,\dots,n \}\) v \(\mathbf{F}_p\) ne spremeni preveč, zato praštevilo \(p\) ne sme biti preveliko. Optimalna izbira bo torej praštevilo \(p\) z lastnostjo \(2n < p < 4n\), taka izbira pa tudi vselej obstaja po Bertrandovem postulatu.

Dogajanje smo na ta način prestavili v končno abelovo grupo \(\mathbf{F}_p\). V njej opazujemo množico \(A \subseteq \mathbf{F}_p\), ki je gostote \(\delta\). Dokazati želimo, da za dovolj velik \(p\) obstajajo v \(A\) aritmetična zaporedja dolžine \(3\), če je le \(\delta > C/\log \log p\) za neko konstanto \(C\).

Izražanje problema v jeziku upodobitev

Rothov izrek v \(\mathbf{F}_p\) napadimo z močnimi orodji teorije upodobitev grupe \(\mathbf{F}_p\). Problem bomo najprej izrazili v prostoru funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(\mathbf{F}_p, \mathbf{C})\). Naj bo \(1_A\) karakteristična funkcija množice \(A\). Vsako aritmetično zaporedje dolžine \(3\) je oblike \(x,z,y\), pri čemer je \(z-x = y-z\), kar je enakovredno \(x+y=2z\). Števila \(x\), \(y\) in \((x+y)/2\) morajo torej pripadati množici \(A\). Število aritmetičnih zaporedij dolžine \(3\) v \(A\) lahko zato izrazimo kot \[\sum_{x,y,z \in \mathbf{F}_p : x+y=2z} 1_A(x) 1_A(y) 1_A(z) = \sum_{z \in \mathbf{F}_p} \left( 1_A * 1_A \right)(z) 1_A(z/2)\] Naj bo \(1_{2A}(z) = 1_A(z/2)\). Zadnjo vsoto prepoznamo kot skalarni produkt \[p \cdot \langle 1_A * 1_A, 1_{2A} \rangle,\] kar lahko s Parsevalovim izrekom razvijemo kot \[\frac{1}{p} \sum_{\chi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(\mathbf{F}_p)} \widehat{1_A*1_A}(\chi) \overline{\widehat{1_{2A}}(\chi)}.\] Trikrat globoko vdihnimo in premislimo vsako zadevo posebej.

1. Nerazcepne upodobitve oziroma karakterje grupe \(\mathbf{F}_p\) eksplicitno poznamo, enaki so \[\chi_j \colon \mathbf{F}_p \to \mathbf{C}^*, \quad x \mapsto \zeta^{j x}\] za \(j \in \mathbf{F}_p\), kjer je \(\zeta = e^{2 \pi i/p}\).

2. Povezavo med konvolucijo in Fourierovo transformacijo smo videli že pri spletičnah. Dokazali smo, da vse endospletične regularne upodobitve izhajajo iz uporabe Fourierove transformacije. Te lastnosti smo kasneje uporabili tudi pri simetrični grupi. Naj bo zdaj \(G\) poljubna grupa in \(F\) polje. Naj bosta \(f_1, f_2 \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,F)\) funkciji in \(\rho\) upodobitev grupe \(G\). Kompozicija Fourierovih transformacij \(\widehat{f_1}(\rho) \cdot \widehat{f_2}(\rho)\) je enaka \[\sum_{g_1, g_2 \in G} f_1(g_1) f_2(g_2) \rho(g_1^{-1} g_2^{-1}) = \sum_{g \in G} (f_2 * f_1)(g) \rho(g^{-1}).\] Torej velja \[\widehat{f_1}(\rho) \cdot \widehat{f_2}(\rho) = \widehat{f_2 * f_1}(\rho)\] in Fourierova transformacija pretvarja konvolucijo funkcij v produkt linearnih preslikav, pri čemer moramo biti pozorni na vrstni red operacij zaradi morebitne nekomutativnosti grupe.

3. Velja \[\widehat{1_{2A}}(\chi) = \sum_{g \in \mathbf{F}_p} 1_{2A}(g) \chi(-g) = \sum_{x \in \mathbf{F}_p} 1_A(x) \chi(-2x) = \widehat{1_A}(\chi^2).\]

Število iskanih aritmetičnih zaporedij je zato enako \[\frac{1}{p} \sum_{j \in \mathbf{F}_p} \widehat{1_A}(\chi_j)^2 \overline{\widehat{1_A}(\chi_j^2)} = \frac{1}{p} \sum_{j \in \mathbf{F}_p} \widehat{1_A}(\chi_j)^2 \widehat{1_A}(\chi_{-2j})\]

Glavni del in prispevki netrivialnih karakterjev

Izolirajmo prispevek trivialne upodobitve. Velja \(\widehat{1_A}(\chi_0) = \widehat{1_A}(\mathbf{1}) = |A|\), zato je število aritmetičnih zaporedij dolžine \(3\) v \(A\) enako \[\frac{|A|^3}{p} + \frac{1}{p} \sum_{j \in \mathbf{F}_p^*} \widehat{1_A}(\chi_j)^2 \widehat{1_A}(\chi_{-2j}).\] Glavni del rezultata je nekoliko nehomogen. To lahko popravimo z dodatno normalizacijo s \(p^2\), ki ima pravzaprav zelo smiselno interpretacijo. Če namreč izberemo \(x,y,z \in \mathbf{F}_p\) enakomerno naključno, a pogojno na veljavnost \(x+y=2z\),⁶⁸ potem je verjetnost, da so \(x,y,z\) vsi v \(A\), enaka \[\mathbf{P}_{x,y,z \in \mathbf{F}_p}(x,y,z \in A \mid x+y=2z) = \delta^3 + \frac{1}{p^3} \sum_{j \in \mathbf{F}_p^*} \widehat{1_A(\chi_j)}^2 \widehat{1_A}(\chi_{-2j}).\] Brez pogojne omejitve bi bila zgornja verjetnost seveda enaka \(\delta^3\). Srčika pogoja aritmetičnega zaporedja dolžine \(3\) se torej skriva v prispevkih netrivialnih karakterjev. Splošna strategija harmonične analize je, da ti prispevki nikdar ne uspejo izničiti glavnega delta \(\delta^3\) in da v \(A\) torej res obstaja aritmetično zaporedje dolžine \(3\).

Za omejitev netrivialnih prispevkov najprej uporabimo trikotniško neenakost, \[\left| \sum_{j \in \mathbf{F}_p^*} \widehat{1_A}^2(\chi_j) \widehat{1_A}(\chi_{-2j}) \right| \leq \max_{j \in \mathbf{F}_p^*} |\widehat{1_A}(\chi_j)| \cdot \sum_{j \in \mathbf{F}_p^*} |\widehat{1_A}(\chi_j)| |\widehat{1_A}(\chi_{-2j})|.\] Zadnjo vsoto ocenimo s Cauchy-Schwartzovo neenakostjo, tako da dobimo zgornjo mejo \[\max_{j \in \mathbf{F}_p^*} |\widehat{1_A}(\chi_j)| \cdot \sqrt{\sum_{j \in \mathbf{F}_p} |\widehat{1_A}(\chi_j)|^2} \cdot \sqrt{\sum_{j \in \mathbf{F}_p} |\widehat{1_A}(\chi_{-2j})|^2}.\] Vsota pod korenoma je v obeh primerih enaka, in sicer jo po Parsevalu lahko izrazimo kot \[\sum_{j \in \mathbf{F}_p} |\widehat{1_A}(\chi_j)|^2 = \sum_{j \in \mathbf{F}_p} \langle \widehat{1_A}(\chi_j), \widehat{1_A}(\chi_j) \rangle_{\mathop{\mathrm{HS}}} = p^2 \langle 1_A, 1_A \rangle = p |A|.\] Od tod torej sklenemo \[\mathbf{P}_{x,y,z \in \mathbf{F}_p}(x,y,z \in A \mid x+y=2z) \geq \delta^3 - \delta \cdot \frac{1}{p} \max_{j \in \mathbf{F}_p^*} |\widehat{1_A}(\chi_j)|.\] Kadar je Fourierova transformacija \(1_A\) v vseh netrivialnih karakterjih strogo manjša od \(p \delta^2\), je verjetnost na levi strani strogo pozitivna, zato res najdemo aritmetično zaporedje dolžine \(3\) v \(A\). Ko pa ima po drugi strani \(\widehat{1_A}\) kakšen velik netrivialen Fourierov koeficient, se pravi ko za nek \(j \in \mathbf{F}_p^*\) velja \[|\widehat{1_A}(\chi_j)| \geq p \delta^2,\] pa harmonična analiza odpove. V tem primeru moramo podrobneje raziskati pomen velikega Fourierovega koeficienta.

Večanje gostote

Predpostavimo, da je \(|\widehat{1_A}(\chi_j)| \geq p \delta^2\) za nek \(j \in \mathbf{F}_p^*\). Preden nadaljujemo, bomo funkcijo \(1_A\) projicirali na podprostor funkcij z ničelnim povprečjem. Naj bo \(f = 1_A - \delta \in \mathop{\mathrm{fun}}(\mathbf{F}_p, \mathbf{C})\). Velja \[\widehat{f}(\chi_j) = \widehat{1_A}(\chi_j) - \delta \widehat{1}(\chi_j) = \widehat{1_A}(\chi_j) - \delta p \langle \mathbf{1}, \chi_j \rangle = \widehat{1_A}(\chi_j),\] zato je \[\left|\sum_{x \in \mathbf{F}_p} f(x) \zeta^{-jx}\right| = |\widehat{f}(\chi_j)| \geq p \delta^2.\] Funkcija \(x \mapsto \zeta^{-jx}\) precej oscilira, ko \(x\) preteče ves \(\mathbf{F}_p\). Če bi bila ta funkcija približno konstanta, bi lahko sklepali, da je vsota vrednosti \(f\) precej velika. Približno konstantnost te funkcije lahko dosežemo tako, da preidemo na neko podmnožico \(\mathbf{F}_p\).⁶⁹

S pomočjo razčlenitve množice \(\mathbf{F}_p\) torej sklepamo \[\left|\sum_{x \in \mathbf{F}_p} f(x) \zeta^{-jx}\right| \leq \sum_{i = 1}^m \left| \sum_{x \in P_i} f(x) \zeta^{-jx} \right| = \sum_{i = 1}^m \left| \sum_{x \in P_i} f(x) \left( \zeta^{-jx_0} + (\zeta^{-jx} - \zeta^{-jx_0}) \right) \right|,\] kjer smo v vsakem \(P_i\) izbrali nek element \(x_0\). Po trikotniški neenakosti in upoštevanju približne konstantnosti funkcije \(x \mapsto \zeta^{-jx}\) na \(P_i\) lahko zadnjo vsoto omejimo navzgor kot \[\sum_{i = 1}^m \left| \sum_{x \in P_i} f(x) \right| + \sum_{i = 1}^m \sum_{x \in P_i} | f(x) | c \delta^2 \leq \sum_{i = 1}^m \left| \sum_{x \in P_i} f(x) \right| + c p \delta^2.\] S tem nazadnje dobimo neenakost \[\sum_{i = 1}^m \left| \sum_{x \in P_i} f(x) \right| \geq (1-c) p \delta^2.\] Po konstrukciji je povprečje funkcije \(f\) po \(\mathbf{F}_p\) enako \(0\). Vsote po zaporedjih \(P_i\) se torej seštejejo v \(0\), po absolutni vrednosti pa se seštejejo v vsaj \((1-c) p \delta^2\). Torej obstaja nek \(i\), za katerega velja \[\sum_{x \in P_i} f(x) + \left| \sum_{x \in P_i} f(x) \right| \geq \frac{1}{m} (1-c) p \delta^2.\] Ker je \(|\mathbf{F}_p| = \sum_{i = 1}^m |P_i|\), dobimo neenakost \(p \geq m c \sqrt{p}\). Hkrati za vsako realno število \(r\) velja \(r + |r| = 2 \max(r, 0)\), zato je \[\max \left( \sum_{x \in P_i} f(x), 0 \right) \geq \frac{c (1-c)}{2} \sqrt{p} \delta^2 \geq \frac{c}{2} |P_i| \delta^2.\] Leva stran je zato strogo pozitivna in enaka vsoti \(f\) po \(P_i\). Upoštevamo še \(f = 1_A - \delta\) in sklenemo \[|A \cap P_i| \geq \frac{c}{2} |P_i| \delta^2 + |P_i| \delta\] oziroma ekvivalentno \[\frac{|A \cap P_i|}{|P_i|} \geq \delta + \frac{c}{2} \delta^2.\] Množica \(A\) ima torej v aritmetičnem zaporedju \(P_i\) gostoto za \(\frac{c}{2} \delta^2\) večjo kot v \(\mathbf{F}_p\).

Iteracija

Povzemimo. Če množica \(A\) gostote \(\delta\) nima aritmetičnih zaporedij dolžine \(3\), potem smo našli aritmetično zaporedje \(P_i\), v katerem ima \(A\) gostoto vsaj \(\delta + \frac{c}{2} \delta^2\). Ta postopek zdaj iteriramo.⁷⁰ Če množica \(A \cap P_i\) nima aritmetičnih zaporedij dolžine \(3\), potem najdemo aritmetično zaporedje dolžine med \(c\sqrt{|P_i|}\) in \((1-c)\sqrt{|P_i|}\), v katerem ima \(A\) gostoto vsaj \(\delta + 2 \frac{c}{2} \delta^2\), in tako dalje. Ker gostota na nobeni točki ne more preseči vrednosti \(1\), se ta postopek gotovo ustavi po končno mnogo korakih. Na tej točki najdemo aritmetično zaporedje dolžine \(3\) v \(A\), če je le velikost množice \(P_i\) do te točke dovolj velika. Iz podrobne analize večanja gostote in spreminjaja velikosti množic \(P_i\) se da izpeljati,⁷¹ da ta argument res deluje, če je le \(\delta \geq C/\log \log p\) za neko konstanto \(C\). S tem je Rothov izrek dokazan.

Onkraj Rothovega izreka

Mnogo dela po Rothovem izreku je bilo posvečenega izboljšanju meje o gostoti, ki še zagotovi obstoj aritmetičnih zaporedij dolžine \(3\). Večina izboljšav spodnje meje je s sabo prinesla nove ideje, uporabne tudi za reševanje kakšnih drugih problemov. Najsodobnejši rezultat v zvezi s tem je prebojen članek (Bloom-Sisask 2020), kjer avtorja dokažeta, da obstajata konstanti \(C,c\), tako da ima vsaka množica \(A \subseteq \{ 1, 2, \dots, n \}\) gostote vsaj \(C / (\log n)^{1 + c}\) aritmetično zaporedje dolžine \(3\). Te meja se torej znebi dvojnega logaritma in uvede minimalen eksponent k logaritmu, zato je bistveno manjša restrikcija na gostoto.

Ta rezultat lahko uporabimo, na primer, z množico praštevil. Po izreku Čebiševa je število praštevil do \(n\) vsaj \(C n / \log n\), zato imajo praštevila v \(\{1,2,\dots,n\}\) gostoto vsaj \(C / \log n\) in na njih lahko apliciramo posplošeni Rothov izrek. Ker lahko vselej tudi izpustimo prvih nekaj praštevil, torej sklepamo, da množica praštevil vsebuje neskončno mnogo aritmetičnih zaporedij dolžine \(3\). Poudarimo konceptualno pomembno dejstvo, da smo ta rezultat izpeljali zgolj zaradi same gostote praštevil in ne zaradi kakršne koli druge njihove lastnosti. Nenazadnje je slogan izvirnega Rothovega izreka ta, da lahko najdemo v vsaki dovolj gosti množici strukturo.

Podmnožice brez produktov

Antipodgrupe

Naj bo \(G\) končna grupa in \(A \subseteq G\) njena podmnožica. Množica \(A\) je podgrupa, če in samo če je zaprta za množenje, se pravi \(A \cdot A \subseteq A\). Skrajno diametralno tej strukturi se znajdemo, če predpostavimo, da produkt nobenih dveh elementov iz množice \(A\) ne pripada \(A\), se pravi \(A \cdot A \cap A = \emptyset\). Z drugimi besedami, enačba \(xy = z\) v množici \(A\) nima rešitev. V tem primeru rečemo, da je množica \(A\) brez produktov. Če smo v teoriji grup malodane obsedeni s strukturiranimi množicami, nas mora vsaj malo tudi zanimati tudi druga skrajnost.

Kadar množica \(A\) vsebuje kakšno podgrupo, seveda ni brez produktov, zato se morajo take množice čim bolj izogniti podgrupam. Osnovno vprašanje v zvezi z množicami brez produktov je, kako velike podmnožice brez produktov dana grupa vsebuje. Za začetek si oglejmo nekaj preprostih zgledov.

Mnogo težje je najti podmnožice brez produktov pozitivne gostote v alternirajoči grupi \(A_n\) (ko gre \(n\) proti neskončnosti) ali linearni grupi \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{F}_p)\) (ko gre \(p\) proti neskončnosti). Dokazali bomo, da to težavo lahko pojasnimo s teorijo updobitev.

Harmonična analiza

Gowersov izrek bomo dokazali s pomočjo nekoliko močnejše trditve.

Iz trditve hitro izpeljemo Gowersov izrek. Uporabimo jo z \(A=B\). Če je \(A\) brez produktov in gostote \(\alpha\), potem velja \(\alpha^3 \leq m^{-1/2} \alpha^{3/2}\), kar je enakovredno \(\alpha \leq m^{-1/3}\).

Iz Gowersovega izreka sledi nekoliko presenetljiva lastnost dovolj velikih podmnožic.

Ta lastnost velikih množic ima mnogo zelo relevantnih uporab v teoriji grup, na primer pri dokazovanju Babaijeve domeneve o premerih končnih enostavnih grup prek teorije približnih podgrup in pri raziskovanju slučajnih sprehodov,⁷⁴ kot je razloženo v (Breuillard 2013).

Največja možna gostota

Z Gowersovo zgornjo mejo za dovoljeno gostoto množice brez produktov se seveda lahko vprašamo, kako optimalna je ta meja. Z drugimi besedami, konstruirati želimo čim večje podmnožice brez produktov. V grupah \(A_n\) in \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{F}_p)\) te gotovo ne bodo pozitivne gostote, ko gredo moči grup čez vse meje.

Gowersov izrek zagotavlja, da gostota množice brez produktov v \(A_n\) ne more biti večja od \(\Theta(n^{-1/3})\). Po drugi strani pa imamo zgled podmnožice brez produktov gostote \(\sim n^{-1/2}\). Katera od teh mej je bližje resnični največji možni gostoti podmnožice brez produktov v \(A_n\)? To vprašanje je bilo razrešeno nedavno v (Keevash-Lifschitz-Minzer 2022), kjer avtorji dokažejo, da je konstrukcija v zadnjem zgledu v resnici optimalna: če je \(A \subseteq A_n\) brez produktov največje možne moči, potem je \(A\) ali \(A^{-1}\) enaka eni od množic iz zadnjega zgleda. Njihov dokaz temelji na ideji, ki smo jo videli v dokazu Rothovega izreka, in sicer bodisi s harmonično analizo dokažemo želeno bodisi ima indikatorska funkcija visoko korelacijo z določenimi nelinearnimi karakterji in je zaradi tega prisotna neka struktura.

Konstrukcija Kedlaya, ki smo jo prikazali, je z nekoliko dodatnega truda⁷⁶ posplošljiva na vse podgrupe \(G \leq S_n\), ki delujejo tranzitivno na množici \(\{ 1,2,\dots, n\}\). Vsaka grupa, ki tranzitivno deluje na množici \(n\) točk, ima torej podmnožico brez produktov gostote \(\sim n^{-1/2}\). V posebnem to velja za grupo \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{F}_p)\), ki deluje tranzitivno na projektivni premici \(\mathbf{P}^1(\mathbf{F}_p)\) s \(p+1\) točkami. Na ta način dobimo podmnožico v \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{F}_p)\) brez produktov gostote \(\Theta(p^{-1/2})\). Gowersov izrek nam tukaj daje zgornjo mejo \(\Theta(p^{-1/3})\) za gostoto množice brez produktov. V tem primeru optimalna ocena za gostoto ni znana.

Prepoznavanje komutatorjev

Oglejmo si še en čisto nekomutativen problem, ki na prvi pogled nima veliko skupnega s teorijo upodobitev, nazadnje pa se izkaže, da ga lahko popolnoma razrešimo, če le poznamo tabelo karakterjev grupe.

Množica komutatorjev

Naj bo \(G\) končna grupa in \(K(G)\) njena podmnožica, ki sestoji iz elementov, ki so komutatorji v \(G\), se pravi \[K(G) = \{ [x,y] \mid x,y \in G \}.\] Ta množica v splošnem ni podgrupa.

V luči zgleda je teoriji grup vsekakor v interesu, da bi razumela, kdaj dan element \(g \in G\) pripada množici \(K(G)\). Lahko smo celo bolj natančni in se vprašamo, na koliko načinov lahko \(g\) zapišemo kot komutator. V ta namen predpišimo funkcijo \[N \colon G \to \mathbf{N}_0, \quad g \mapsto |\{ (x,y) \in G \times G \mid g = [x,y] \}|.\] Dokazali bomo naslednjo formulo za izračun funkcije \(N\) s pomočjo teorije upodobitev.

Harmonična analiza

Funkcijo \(N\) obravnavajmo kot element prostora \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,\mathbf{C})\). Ni se težko prepričati, da je \(N\) razredna funkcija. Za vsak \(z \in G\) namreč velja \[[z x z^{-1}, z y z^{-1}] = z [x,y] z^{-1},\] torej vsak par \((x,y)\) z lastnostjo \([x,y] = g\) porodi par \((z x z^{-1}, z y z^{-1})\) z lastnostjo \([z x z^{-1}, z y z^{-1}] = z g z^{-1}\). S tem je \(N(g) = N(z g z^{-1})\).

Funkcijo \(N\) bomo prepisali v malo bolj nenavadno obliko, ki pa nam bo dobro služila v nadaljevanju. Recimo, da za elementa \(x,y \in G\) velja \([x,y] = g\). To enakost interpretiramo kot \(x^{-1} \cdot y^{-1} x y = g\), torej je \(g\) zapisan kot produkt elementa \(x^{-1}\) in elementa, ki je konjugiran \(x\). Vsakemu takemu paru \((x,y)\) lahko zato priredimo konjugiranostni razred \(\mathcal{C}= x^G\) in elementa \(a = x^{-1} \in \mathcal{C}^{-1}\) ter \(b = y^{-1} x y \in \mathcal{C}\), za katera velja \(a \cdot b = g\). S tem smo opisali prirejanje \[\psi \colon \{ (x,y) \in G \times G \mid g = [x,y] \} \to \{ (\mathcal{C}, a, b) \mid \mathcal{C}= (a^{-1})^G, \ b \in \mathcal{C},\ a \cdot b = g \}.\] To prirejanje ni injektivno, saj s trojico \((\mathcal{C},a,b)\) element \(y\) ni enolično določen, pač pa le do odseka po centralizatorju \(C_G(a^{-1}) = C_G(a)\) natančno.⁷⁸ Torej je \(|\psi^{-1}(\mathcal{C},a,b)| = |C_G(a)| = |G|/|\mathcal{C}|\). S tem lahko izrazimo \[N(g) = \sum_{\mathcal{C}} \frac{|G|}{|\mathcal{C}|} \cdot |\{ (a,b) \in G \times G \mid a \in \mathcal{C}^{-1}, \ b \in \mathcal{C}, \ a \cdot b = g \}|,\] kjer vsota teče po vseh konjugiranostnih razredih grupe \(G\).

Dobljeni zapis funkcije \(N\) je priročen, ker je izražen le s konjugiranostnimi razredi in je neodvisen od izbire njihovih konkretnih predstavnikov. S tem je amenabilen za gnetenje s Fourierovo transformacijo. Najprej opazimo, da lahko drugi faktor zadnje vsote zapišemo kot \[\sum_{a,b \in G, \ a \cdot b = g} 1_{\mathcal{C}^{-1}}(a) \cdot 1_{\mathcal{C}}(b) = \left( 1_{\mathcal{C}^{-1}} * 1_{\mathcal{C}} \right) (g),\] zato je \[N(g) = \sum_{\mathcal{C}} \frac{|G|}{|\mathcal{C}|} \cdot \left( 1_{\mathcal{C}^{-1}} * 1_{\mathcal{C}} \right) (g).\] Konvolucijo lahko po Fourierovi inverziji razvijemo po karakterjih. Ker gre za karakteristične funkcije konjugiranostnih razredov, je ta razvoj še posebej preprost.

Trditev uporabimo za razvoj funkcije \(N\) kot \[N(g) = \sum_{\mathcal{C}} \frac{|G|}{|\mathcal{C}|} \cdot \frac{|\mathcal{C}|^2}{|G|} \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \frac{|\chi_{\pi}(\mathcal{C})|^2}{\chi_{\pi}(1)} \chi_{\pi}(g) = \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \frac{\chi_{\pi}(g)}{\chi_{\pi}(1)} \sum_{\mathcal{C}} |\mathcal{C}| \cdot |\chi_{\pi}(\mathcal{C})|^2.\] Zadnja vsota je ravno enaka \(|G| \cdot \langle \chi_{\pi}, \chi_{\pi} \rangle = |G|\), zato nazadnje sklenemo \[N(g) = |G| \cdot \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \frac{\chi_{\pi}(g)}{\chi_{\pi}(1)}.\] S tem smo izpeljali Frobeniusov izrek.

Prepoznavanje komutatorjev

S Frobeniusovim izrekom lahko komutatorje v grupi prepoznavamo neposredno iz tabele karakterjev grupe.

Nedavno razrešena Orejeva domneva iz leta 1951 je predvidevala, da je vsak element nekomutativne končne enostavne grupe komutator. Ta domneva je bila potrjena v (Liebeck-O’Brien-Shalev-Tiep 2010). Dokaz sloni na Frobeniusovi formuli za prepoznavanje komutatorjev. Avtorji z uporabo generičnih tabel karakterjev, Deligne-Lusztigove teorije in kar nekaj surove računske moči dokažejo, da prispevki nelinearnih karakterjev v Frobeniusovi formuli nikdar ne uspejo izničiti prispevka trivialnega karakterja.

Velika sestra Orejeve domneve je Thompsonova domneva.

Thompsonova domneva implicira Orejevo domnevo. Če namreč najdemo tak konjugiranostni razred \(\mathcal{C}\), potem je v posebnem \(1 \in \mathcal{C}\cdot \mathcal{C}\), zato je \(\mathcal{C}= \mathcal{C}^{-1}\). Torej lahko vsak element \(g \in G\) zapišemo kot \(g = x^{-1} x^{g_2}\) za nek \(x \in \mathcal{C}\), s čimer je \(g = [x, g_2]\). Ker je bil \(g\) poljuben, je torej vsak element v \(G\) komutator, kar je ravno trditev Orejeve domneve.

Ta močnejša domneva je še vedno nerazrešena, je pa v zadnjih letih bilo kar nekaj aktivnosti v zvezi z njeno asimptotsko veljavnostjo. Ti rezultati večinoma temeljijo na teoriji karakterjev na naslednji način. Element \(g \in G\) pripada \(\mathcal{C}\cdot \mathcal{C}\), če in samo če velja \((1_{\mathcal{C}} * 1_{\mathcal{C}})(g) \neq 0\), kar lahko s pomočjo Fourierove inverzije, kot smo videli v zadnji trditvi, zapišemo kot \[\sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} \frac{\overline{\chi_{\pi}(\mathcal{C})}^2}{\chi_{\pi}(1)} \chi_{\pi}(g) \neq 0.\] S pomočjo poznavanja karakterjev končnih enostavnih grup je domneva znana za mnogo primerov, odprtih pa je še nekaj neskončnih družin matričnih grup nad majhnimi polji, kot je zelo prijazno razloženo v Larsenovem predavanju tukaj.

Slučajni sprehodi

Naj bo \(G\) končna grupa in \(S\) neka njena podmnožica, ki generira \(G\). Vsak element v \(G\) lahko torej zapišemo kot produkt elementov iz množice \(S\). V tem razdelku bomo raziskali, kaj se zgodi, če elementov iz množice \(S\) ne množimo s ciljem, da bi zapisali nek konkreten element, ampak jih namesto tega množimo kar naključno.

Slučajni sprehod

Naj bo \(G\) grupa z generirajočo množico \(S\). Enakomerno naključno izberimo element \(X_1 = s_1 \in S\). Za tem še enkrat neodvisno izberimo \(s_2 \in S\) in izračunajmo \(X_2 = s_1 s_2 \in G\). Ta postopek ponavljamo. Ko že imamo \(X_i \in G\), enakomerno naključno izberemo element \(s_{i+1} \in S\) in izračunamo \(X_{i+1} = X_i s_{i+1}\). Če smo torej po nekaj korakih že prišli do elementa \(g \in G\), potem je verjetnost, da bomo po naslednjem koraku v elementu \(h \in G\), enaka \[p_S(g, h) = \begin{cases} 1/|S| & \exists s \in S \colon h = g s, \\ 0 & \text{sicer} \end{cases}\] Po \(n\) korakih tega postopka dobimo element \(X_n \in G\), ki je seveda odvisen od izbire vmesnih elementov \(s_i \in S\) na vsakem koraku. Temu procesu pravimo slučajni sprehod na grupi \(G\) z generirajočo množico \(S\).

Nekoliko bolj abstraktno bi lahko na slučajni sprehod gledali kot na zaporedje slučajnih spremenljivk \(X_1, X_2, \dots\) z vrednostmi v \(G\), ki pa niso porazdeljene neodvisno, temveč zanje velja lastnost Markova, to je \[\mathbf{P}( X_{i+1} = y \mid X_1 = x_1, \dots, X_i = x_i) = p_S(x_i, y)\] za vsak \(i \geq 0\) in za vse \(x_1, x_2, \dots, x_i \in G\). Ta lastnost je jasno izpolnjena za slučajni sprehod, kot smo ga opisali zgoraj. Po drugi strani je vsako zaporedje slučajnih spremenljivk z vrednostmi v \(G\), ki zadošča lastnosti Markova, uresničljivo kot slučajni sprehod. Definiciji sta torej ekvivalentni.

Slučajna spremenljivka \(X_n\) nam pove, v katerem elementu se nahajamo po \(n\) korakih slučajnega sprehoda. Naš cilj je analizirati porazdelitev te slučajne spremenljivke v odvisnosti od \(n\) in še posebej v limiti, ko gre \(n\) čez vse meje. Kot bomo videli, je tudi ta problem izrazljiv v jeziku teorije upodobitev.

Operator Markova

Po \(n\) korakih slučajnega sprehoda se znajdemo v nedoločenem elementu grupe \(G\). Uvedimo funkcijo \[\mu_n \colon G \to \mathbf{C}, \quad g \mapsto \mathbf{P}(X_n = g),\] ki meri verjetnost, da smo v danem elementu. Ta funkcija torej ni nič drugega kot porazdelitvena funkcija slučajne spremenljivke \(X_n\). Slučajni sprehod se prične v \(1\), zato je \(\mu_0 = 1_1\).

Vrednosti funkcije \(\mu_n\) lahko izračunamo induktivno na \(n\), upoštevajoč lastnost Markova. Velja \[\mu_n(g) = \sum_{h \in G} \mathbf{P}(X_n = g \mid X_{n-1} = h) \mathbf{P}(X_{n-1} = h) = \sum_{h \in G} p_{S}(h,g) \cdot \mu_{n-1}(h).\] Vrednosti \(p_{S}(h,g)\) so neničelne le, kadar je \(g \in h S\). Dobimo torej \[\mu_n(g) = \frac{1}{|S|} \sum_{h \in g S^{-1}} \mu_{n-1}(h) = \frac{1}{|S|} \sum_{x \in G} \mu_{n-1}(gx^{-1}) 1_{S}(x),\] Zadnjo vsoto prepoznamo kot konvolucijo \[\left( \mu_{n-1} * \frac{1_{S}}{|S|} \right) (g),\] ki jo lahko zapišemo s pomočjo Fourierove transformacije in nazadnje dobimo \[\mu_n = \widehat{\frac{1_{S}}{|S|} }(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}) \cdot \mu_{n-1}.\] Rekurzivna zveza za izračun porazdelitvene funkcije \(\mu_n\) iz \(\mu_{n-1}\) je torej izrazljiva kot Fourierova transformacija normalizirane karakteristične funkcije generirajoče množice \(S\) v regularni upodobitvi. Tej linearni preslikavi pravimo operator Markova in jo označimo kot \[M = \widehat{\frac{1_{S}}{|S|} }(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}) = \frac{1}{|S|} \sum_{x \in S} \rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(x)^*.\] Za poljubno funkcijo \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,\mathbf{C})\) je \[(M \cdot f)(g) = \frac{1}{|S|} \sum_{x \in S} f(g x^{-1}),\] torej \(Mf\) v točki \(g \in G\) izračuna povprečje funkcije \(f\) po vseh elementih, ki v slučajnem sprehodu lahko vodijo v \(g\).

Operator Markova lahko zapišemo v naravni bazi karakterističnih funkcij in s tem dobimo matriko razsežnosti \(|G| \times |G|\), ki ima v vsakem stolpcu \(|S|\) neničelnih vrednosti, vsaka od njih je enaka \(1/|S|\). Ob dodatnih predpostavkah na množico \(S\) dobimo dodatne lastnosti te matrike. Če je na primer množica \(S\) simetrična, kar pomeni, da je za vsak \(s \in S\) tudi \(s^{-1} \in S\), potem je opisana matrika za \(M\) simetrična in zato nujno diagonalizabilna v ortonormirani bazi nad realnimi števili. V tem primeru ni težko izračunati visokih potenc \(M\) in s tem \(\mu_n\).

Enakomerno porazdelitev na množici \(A \subseteq G\) označimo z \(U_A\). Velja \(U_A = 1/|A| \cdot 1_A\). Enakomerna porazdelitev \(U_G\) je vselej lastni vektor operatorja Markova z lastno vrednostjo \(1\). Preostalih lastnih vrednosti pa v splošnem ni lahko določiti.

Slučajni sprehod s konjugiranostnim razredom

Zelo dobro razumemo primer, ko je \(S\) konjugiranostni razred v \(G\), saj lahko Fourierovo transformacijo razredne funkcije eksplicitno izračunamo v odvisnosti od karakterjev. V tem primeru lahko eksplicitno določimo tudi vse lastne vektorje, ki jih dobimo kot generatorje izotipičnih komponent nerazcepnih upodobitev, ko smo videli v predstavljenem algoritmu za izračun tabele karakterjev.

Operator Markova \(M\) slučajnega sprehoda na \(G\) z generirajočo množico \(\mathcal{C}\), kjer je \(\mathcal{C}\) konjugiranostni razred v \(G\), deluje na vsaki od izotipičnih komponent regularne upodobitve kot skalarni večkratnik identitete z znamimi skalarji. Da lahko razumemo \(\mu_n = M^n \cdot 1_1\), moramo najprej razviti funkcijo \(1_1\) po izotipičnih komponentah. To naredimo, kot smo že, s pomočjo Fourierovih transformacij nerazcepnih karakterjev. Projekcija \(1_1\) na \(\pi\)-izotipično komponento je enaka \[v_{\pi} = \frac{\chi_{\pi}(1)}{|G|} \cdot \chi_{\pi},\] zato dobimo \(1_1 = \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} v_{\pi}\). Vektor \(v_{\pi}\) je lastni vektor za \(M\) z lastno vrednostjo \(r_{\pi}(\mathcal{C})\). V tej množici lastnih vektorjev lahko torej funkcijo \(\mu_n\) razvijemo kot \[\mu_n = M^n \cdot 1_1 = \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G)} r_{\pi}(\mathcal{C})^n \cdot v_{\pi}.\] Za razumevanje asimptotskega obnašanja \(\mu_n\) je pomembno poznati \(|r_{\pi}(\mathcal{C})|\). Če je namreč \(|r_{\pi}(\mathcal{C})| < 1\), potem vrednosti \(r_{\pi}(\mathcal{C})^n\) konvergirajo k \(0\), ko gre \(n\) čez vse meje.

Zberimo prispevke z maksimalno vrednostjo \(r_{\pi}(\mathcal{C})\) v množico \[X_{\mathcal{C}} = \{ \pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G) \mid |r_{\pi}(\mathcal{C})| = 1 \}.\] Velja torej \[\mu_n - \sum_{\pi \in X_{\mathcal{C}}} r_{\pi}(\mathcal{C})^n \cdot v_{\pi} = \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G) \backslash X_{\mathcal{C}}} r_{\pi}(\mathcal{C})^n \cdot v_{\pi}.\] Prispevki \(r_{\pi}(\mathcal{C})^n\) za \(\pi\) izven \(X_{\mathcal{C}}\) konvergirajo k \(0\) za velike vrednosti \(n\) in zatorej dobimo \[\lim_{n \to \infty} \left( \mu_n - \sum_{\pi \in X_{\mathcal{C}}} r_{\pi}(\mathcal{C})^n \cdot v_{\pi} \right) = 0.\] Za konkretne grupe lahko s tabelo karakterjev ali upoštevanjem kakšnih dodatnih lastnosti eksplicitno izračunamo zadnjo vsoto in s tem določimo limitno porazdelitev \(\mu_n\), če ta sploh obstaja.

Napako pri aproksimaciji porazdelitev \(\mu_n\) in vsoto prispevkov po \(X_{\mathcal{C}}\) izrazimo s pomočjo norme \(||f||_1 = \sum_{g \in G} |f(g)|\) za funkcijo \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,\mathbf{C})\).⁸¹ Naj bo \(0 < \theta < 1\) konstanta. Čas mešanja⁸² \(t_{mix}(\theta)\) je najmanjše število \(n\), pri katerem je \[|| \mu_n - \sum_{\pi \in X_{\mathcal{C}}} r_{\pi}(\mathcal{C})^n \cdot v_{\pi} ||_1 \leq \theta.\] Čas mešanja in s tem hitrost konvergence k limitni porazdelitvi lahko kvantitativno nadziramo, če dobro poznamo vrednosti \(r_{\pi}(\mathcal{C})\) za \(\pi\) izven \(X_{\mathcal{C}}\), saj velja \[|| \mu_n - \sum_{\pi \in X_{\mathcal{C}}} r_{\pi}(\mathcal{C})^n \cdot v_{\pi} ||_1 \leq \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G) \backslash X_{\mathcal{C}}} |r_{\pi}(\mathcal{C})|^n \cdot ||v_{\pi}||_1.\] Normo baznih vektorjev \(v_{\pi}\) lahko omejimo s Cauchy-Schwartzovo neenakostjo kot \[||v_{\pi}||_1 = \frac{\chi_{\pi}(1)}{|G|} \sum_{g \in G} |\chi_{\pi}(g)| \leq \frac{\chi_{\pi}(1)}{|G|} \sqrt{|G| \cdot \sum_{g \in G} |\chi_{\pi}(g)|^2} = \chi_{\pi}(1).\] S tem velja \[|| \mu_n - \sum_{\pi \in X_{\mathcal{C}}} r_{\pi}(\mathcal{C})^n \cdot v_{\pi} ||_1 \leq \left( \max_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G) \backslash X_{\mathcal{C}}} |r_{\pi}(\mathcal{C})| \right)^n \cdot \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G) \backslash X_{\mathcal{C}}} \chi_{\pi}(1).\] Če vsoto karakterjev zelo grobo navzgor ocenimo z \(|G|\) in upoštevamo, da je \[\max_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G) \backslash X_{\mathcal{C}}} |r_{\pi}(\mathcal{C})| \leq 1 - \epsilon < 1\] za nek \(\epsilon > 0\), potem velja \[|| \mu_n - \sum_{\pi \in X_{\mathcal{C}}} r_{\pi}(\mathcal{C})^n \cdot v_{\pi} ||_1 \leq (1 - \epsilon)^n \cdot |G|.\]

Napaka med porazdelitvama pade pod konstanto \(\theta\), če je le \[n \sim (\log |G| - \log \theta)/(- \log (1 - \epsilon)) = O_{\epsilon, \theta}(\log |G|).\] Takrat bo za majhno konstanto \(\theta\) slučajni sprehod zelo blizu svoje limitne porazdelitve, če ta sploh obstaja. Čas mešanja je torej logaritmičen v velikosti grupe.

Naključno množenje podobnih matrik

Oglejmo si konkreten primer slučajnega sprehoda. Obravnavajmo grupo \(G_p = \mathop{\mathrm{GL}}_2(\mathbf{F}_p)\) za \(p > 3\), ki smo jo že dodobra spoznali. V njej za generirajočo množico izberimo konjugiranostni razred \(\mathcal{C}\) regularnih polenostavnih elementov, ki so podobni matriki \[A = \begin{pmatrix} \delta & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\] kjer je \(\delta\) generator ciklične grupe obrnljivih elementov končnega polja \(\mathbf{F}_p^*\). Generirajoča množica sestoji torej iz vseh matrik, ki so v \(G_p\) podobne \(A\).

Generiranje grupe

Preverimo najprej, da množica \(\mathcal{C}\) res generira \(G_p\). Ker je \(G_p\) končna grupa, velja \(A^{-1} \in \langle \mathcal{C}\rangle\) in zato je vsaka matrika, ki je podobna \(A^{-1}\), tudi v \(\langle \mathcal{C}\rangle\). S tem velja \[[S_+, A] = (S_+^{-1} A^{-1} S_+) A = S_+^{\delta^{-1} - 1} \in \langle \mathcal{C}\rangle.\] Ker je \(p > 3\), je \(\delta \neq \pm 1\), zato dobimo \(S_+ \in \langle \mathcal{C}\rangle\). Sorodno sklepamo za matriko \(S_-\). S tem dobimo \[\textstyle \langle \mathcal{C}\rangle \geq \langle S_+, S_- \rangle = \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p).\] Ker je \(\delta\) generator \(\mathbf{F}_p^*\), grupa \(\langle \mathcal{C}\rangle\) vsebuje matrike z vsemi možnimi determinantami. Od tod sledi, da \(\mathcal{C}\) res generira grupo \(G_p\).

Limitna porazdelitev sprehoda

Za razumevanje limitnega obnašanja porazdelitve \(\mu_n\) moramo najprej določiti vrednosti \(r_{\pi}(\mathcal{C})\). Tabelo karakterjev grupe \(G_p\) v celoti poznamo.

Lastne vrednosti operatorja Markova grupe \(G_p\) z generirajočo množico \(\mathcal{C}\)

	\(\chi_{\pi}(1)\)	\(\overline{\chi_{\pi}(\mathcal{C})}\)	\(r_{\pi}(\mathcal{C})\)	\(\left| r_{\pi}(\mathcal{C}) \right|\)
\(\chi \circ \det\)	\(1\)	\(\overline{\chi(\delta)}\)	\(\overline{\chi(\delta)}\)	\(1\)
\(\mathop{\mathrm{St}}(\chi)\)	\(p\)	\(\overline{\chi(\delta)}\)	\(\overline{\chi(\delta)} / p\)	\(1/p\)
\(\pi(\chi_1, \chi_2)\)	\(p+1\)	\(\overline{\chi_1(\delta)} + \overline{\chi_2(\delta)}\)	\((\overline{\chi_1(\delta)} + \overline{\chi_2(\delta)})/(p+1)\)	\(< 2/(p+1)\)
\(\zeta_{\theta}\)	\(p-1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)

Množica \(X_{\mathcal{C}}\) v tem primeru sestoji iz linearnih upodobitev. Vsota prispevkov porazdelitev po \(X_{\mathcal{C}}\) je zato enaka \[\sum_{\pi \in X_{\mathcal{C}}} r_{\pi}(\mathcal{C})^n \cdot v_{\pi} = \sum_{\chi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(\mathbf{F}_p^*)} \overline{\chi(\delta^{n})} \cdot \frac{1}{|G_p|} \chi \circ \det.\] Upoštevamo drugo ortogonalnostno relacijo in dobimo \[\frac{1}{|G_p|} \cdot \left( g \mapsto \begin{cases} |\mathbf{F}_p^*| & \det g = \delta^n \\ 0 & \text{sicer.} \end{cases} \right) = \frac{1}{|\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)|} \cdot 1_{\det^{-1}(\delta^n)} = U_{\det^{-1}(\delta^n)}.\] V tem primeru kandidat za limitno porazdelitev v resnici ne konvergira, saj za različne vrednosti \(n\) po modulu \(p-1\) dobimo bistveno različne porazdelitve. Ko je \(n\) deljiv s \(p-1\), dobimo enakomerno porazdelitev na \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)\).

Hitrost konvergence

Pogovorimo se še o oceni napake pri aproksimaciji \(\mu_n\) s kandidatom za limitno porazdelitev. Za \(\pi\) izven \(X_{\mathcal{C}}\) ocenimo \[\max_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G_p) \backslash X_{\mathcal{C}}} |r_{\pi}(\mathcal{C})| < \frac{2}{p}, \quad \sum_{\pi \in \mathop{\mathrm{Irr}}(G_p) \backslash X_{\mathcal{C}}} \chi_{\pi}(1) < p^3.\] Velja torej \[|| \mu_n - U_{\det^{-1}(\rho^n)} ||_1 \leq \frac{2^n}{p^{n-3}}.\] Napaka zelo hitro upade, pod \(\theta\) je že pri \(n = (3 \log p - \log \theta) / (\log p - \log 2) \sim 3\).⁸³ Težava je le ta, da \(\mu_n\) v resnici ne konvergira. Da to popravimo, moramo opazovati obnašanje po aritmetičnih zaporedjih z razliko \(p-1\). Za vse dovolj velike \(p\) tako dobimo zelo dobro aproksimacijo \[\mu_{p-1} \approx U_{\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)}.\] Če torej v \(G_p\) naključno zmnožimo \(p-1\) matrik v \(\mathcal{C}\) za dovolj velik \(p\), dobimo (skoraj) naključno matriko v \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)\). Napaka sicer pade ekstremno hitro, a linearni karakterji obremenijo sprehod do te mere, da ne moremo izkoristiti majhne napake že po \(3\) korakih, niti ne po \(\log |G_p| \sim \log p\) korakih, temveč šele po \(p-1 \sim |G_p|^{1/4}\) korakih.

Konvergenca v družinah

Za vsako konkretno nekomutativno končno enostavno grupo \(G\) velja, da so vse lastne vrednosti operatorja \(M\) razen \(1\) po absolutni vrednosti kvečjemu \(1-\epsilon\) za nek \(\epsilon = \epsilon(G) > 0\). V tem primeru rečemo, da je grupa \(G\) \(\epsilon\)-ekspanzivna glede na generirajočo množico \(S\). Slučajni sprehod v taki grupi se dobro premeša po \(O_{\epsilon}(\log |G|)\) korakih. Težave nastopijo, ko skušamo ta argument uporabiti za celo družino grup, saj se lahko zgodi, da z večanjem parametra \(n\) vrednost ekspanzivnosti \(\epsilon = \epsilon_n\) nujno konvergira k \(0\). Ta fenomen vidimo v primeru družine \(A_n\) in konjugiranostnega razreda \(3\)-ciklov.

V taki situaciji se slučajni sprehodi zmešajo dobro po \(O_{\epsilon}(\log |G|)\) korakih, kar je lahko bistveno večje od \(O(\log |G|)\) in torej asimptotsko gledano v resnici ni logaritmično v velikosti grupe.

Družini grup \((G_i, S_i)_{i \in \mathbf{N}}\), kjer je \(G_i = \langle S_i \rangle\), pravimo ekspanzivna družina,⁸⁴ kadar obstaja konstanta \(\epsilon > 0\), za katero je vsaka grupa \(G_i\) \(\epsilon\)-ekspanzivna glede na \(S_i\). V ekspanzivnih družinah se slučajni sprehodi enakomerno zelo hitro dobro premešajo.

Vsaka družina je ekspanzivna, če za generatorsko množico vzamemo kar \(S_i = G_i\) za vsak \(i\). V tem primeru je namreč operator Markova enak povprečju \(\mathbf{E}(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}})\), ki je projektor na trivialno podupodobitev regularne, zato so vse njegove netrivialne lastne vrednosti ničelne. Želimo si ekspanzivnih družin, v katerih je množica \(S_i\) čim manjša, po možnosti celo omejene velikosti v vseh članicah družine, na primer \(|S_i| \leq 100\) za vsak \(i\). V takih ekspanzivnih družinah lahko enakomerno zelo hitro z zaporednim vzorčenjem v množici omejene velikosti dobimo približno enakomerno naključne elemente ogromnih grup.

S pomočjo teorije upodobitev in poznavanja določenih lastnosti karakterjev končnih enostavnih grup \(\mathop{\mathrm{PSL}}_n(\mathbf{F}_p)\) ni pretežko posplošiti zgleda iz zadnjega razdelka. Zanimivo je, da isti rezultat ne deluje za družino alternirajočih grup.

Bistveno bolj netrivialen pa je dokaz naslednjega izreka, po katerem lahko vse nekomutativne končne enostavne grupe napravimo za ekspanzivne z generatorskimi množicami omejene velikosti.

Izrek nam zagotavlja obstoj neke ne prevelike generirajoče množice v končnih enostavnih grupah, glede na katere se slučajni sprehodi enakomerno zelo hitro dobro premešajo. Še težje pa je povedati kaj bolj konkretnega o teh generirajočih množicah. Za primer \(A_n\) so te množice konstruirane v (Kassabov 2007) s pomočjo neke naključne metode. Dokaz omejitev absolutnih vrednosti lastnih vrednosti operatorja Markova sloni na teoriji upodobitev, a je precej bolj zahteven od tega, ki smo si ga ogledali mi, saj so te generatorske množice daleč od konjugiranostnih razredov. Pred nedavnim so se našle celo eksplicitne konstrukcije generirajočih množic \(A_n\), glede na katere dobimo ekspanzivno družino (Caprace-Kassabov 2022). Tudi tukaj je ključna teorija upodobitev, a v igro vstopijo neskončne grupe avtomorfizmov polinomskih kolobarjev nad končnim poljem.

Dokazi ekspanzivnosti za generatorske množice, ki niso konjugiranostni razredi, ponavadi potekajo na obraten način, kot bi pričakovali. Omejenost absolutnih vrednosti netrivialnih lastnih vrednosti operatorja Markova namreč lahko dokažemo, če premislimo, da se slučajni sprehodi enakomerno zelo hitro premešajo.⁸⁵ Primer uporabe te tehnike par excellence je naslednji rezultat, ki med drugim presenetljivo sloni na Gowersovem rezultatu o zgornji meji gostote množic brez produktov.

Če sprostimo \(n\) in opazujemo matrike velikih razsežnosti, cel kup tehnik v dokazu propade. Za te matrike ni znano in med strokovnjaki niti ni jasnega konsenza, ali so asimptotsko gledano skoraj gotovo ekspanzivne. Preprost primer, ki bi verjetno odprl vrata v velike matrike, je družina alternirajočih grup.

Vzpodbuden delni rezultat je, da asimptotska visoko verjetna ekspanzivnost drži za družino določenih kvocientov Cayleyjevih grafov simetričnih grup, kot je predstavljeno v (Milanez 2022).

Razširjeni zgledi – neskončni

V tem zaključnem poglavju si bomo pogledali nekaj zgledov iz teorije upodobitev neskončnih grup. Tukaj ni enotne teorije, s katero bi lahko obravnavali vsako grupo, obstajajo pa družine grup, znotraj katerih lahko razumemo upodobitve na enoten način. Ne bomo razvijali splošne teorije, temveč si bomo ogledali le konkretne, a reprezentativne predstavnike nekaterih izmed pomembnih družin neskončnih grup.

Ozaljšane upodobitve

V svetu neskončih grup ponavadi ne obravnavamo čisto vseh abstraktnih upodobitev, ker na ta način dobimo preprosto preveč upodobitev, ki niti niso smiselne.

To težavo zaobidemo tako, da ne opazujemo poljubnih upodobitev, temveč jih ozaljšamo z dodatnimi restrikcijami v odvisnosti od grupe, ki jo opazujemo.

Zveznost

Grupa \(\mathbf{R}\) ni le abstraktna grupa, temveč je opremljena s topologijo. Abstraktneje je topološka grupa množica, ki je hkrati grupa in topološki prostor, obe strukturi pa sta uglašeni s pogojem, da sta operaciji množenja in invertiranja zvezni.

Končnorazsežna⁸⁶ kompleksna upodobitev \(\rho \colon G \to \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) topološke grupe \(G\) je zvezna, kadar je zvezna kot preslikava, pri čemer prostor \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C}) \subseteq \mathbf{C}^{n^2}\) opremimo z inducirano topologijo.

Kadar je dana topološka grupa \(G\) opremljena z znano topologijo, ki izhaja iz evklidskega prostora, kot se zgodi na primer v grupah \(\mathop{\mathrm{SO}}_3(\mathbf{R})\) ali \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\), ima smisel govoriti o mnogih dodatnih lastnostih matričnih koeficientov upodobitev. Lahko na primer zahtevamo, da so ti koeficienti gladki, analitični ali preprosto polinomi. V teh primerih rečemo, da imamo gladko, analitično oziroma polinomsko upodobitev.

Unitarnost

Pri raziskovanju teorije upodobitev končnih grup nam je marsikje prav prišlo dejstvo, da smo vektorske prostore opremili s skalarnim produktom, ki je bil invarianten glede na upodobitev. Z drugimi besedami, opazovali smo unitarne upodobitve, ki slikajo v grupo \(\mathop{\mathrm{U}}(V) \leq \mathop{\mathrm{GL}}(V)\). Z metodo povprečenja smo dokazali, da je vsaka upodobitev končne grupe unitarizabilna in torej po ustrezni zamenjavi baze lahko predpostavimo, da je oblike \(\rho \colon G \to U_n(\mathbf{C})\). Za neskončne grupe tega sklepa ne moremo napraviti in tudi zaključek v splošnem ne drži.

Za neskončne topološke grupe najraje opazujemo zvezne unitarne upodobitve. O teh ponavadi lahko povemo največ, kot bomo videli v nadaljevanju.

Kompaktne grupe

Večino rezultatov iz končnih grup lahko prenesemo v svet kompaktnih topoloških grup in njihovih zveznih unitarnih upodobitev.

\(\mathop{\mathrm{U}}_1(\mathbf{C})\)

Najenostavnejši primer neskončne kompaktne grupe je unitarna grupa \(\mathop{\mathrm{U}}_1(\mathbf{C}) = S^1\) kompleksnih števil absolutne vrednosti \(1\). To topološko grupo lahko alternativno vidimo kot \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\) s kvocientno topologijo iz grupe \(\mathbf{R}\).

Nerazcepne upodobitve

Poznamo že nekaj upodobitev grupe \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\), ki jih ponuja grupa \(\mathbf{R}\), in sicer za vsak parameter \(k \in \mathbf{Z}\) dobimo upodobitev \[\chi_k \colon \mathbf{R}/\mathbf{Z}\to \mathbf{C}^*, \quad x \mapsto e^{2 \pi i k x}.\] Velja pa tudi obratno, iz vsake upodobitve \(\chi \colon \mathbf{R}/\mathbf{Z}\to \mathop{\mathrm{U}}_1(\mathbf{C})\) z restrikcijo vzdolž \(\mathbf{R}\to \mathbf{R}/\mathbf{Z}\) dobimo upodobitev \(\mathbf{R}\). Te upodobitve lahko popolnoma opišemo s pomočjo elementarne analize.

Iz trditve izpeljemo, da vsaka zvezna upodobitev \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\to \mathbf{C}^*\) izhaja iz upodobitve \(\chi_{\zeta}\) za nek \(\zeta\). Pri tem mora biti \(\mathbf{Z}\leq \ker \chi_{\zeta}\), od koder sledi \(\zeta = 2 \pi i k\) za nek \(k \in \mathbf{Z}\). Upodobitve \(\chi_k\) torej izčrpajo vse končnorazsežne zvezne kompleksne upodobitve grupe \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\). Te upodobitve so vse tudi unitarne, kar ni naključje, kot bomo pojasnili nekoliko kasneje.

Fourierova analiza

Klasična Fourierova analiza periodičnih funkcij se tesno prepleta s teorijo upodobitev grupe \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\). Kot vemo, lahko z upodobitvami \(\chi_k\) za \(k \in \mathbf{Z}\) aproksimiramo poljubno zvezno funkcijo na \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\). To naredimo na sledeč način. Prostor funkcij na grupi \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\) opremimo s skalarnim produktom \[\langle f, h \rangle = \int_{0}^{1} f(t) \overline{h(t)} dt.\] Fourierovi koeficienti funkcije \(f\) so \[\langle f, \chi_k \rangle = \int_0^1 f(t) e^{-2 \pi i k t} dt\] za \(k \in \mathbf{Z}\). Z njimi definiramo delne Fourierove vsote \[f_N = \sum_{k \in \mathbf{Z}\colon |k| \leq N} \langle f, \chi_k \rangle \chi_k\] za \(N \in \mathbf{N}\). V splošnem delne vsote \(f_N\) ne konvergirajo po točkah,⁸⁷ je pa temu tako, če dodatno predpostavimo, da obravnavamo le kvadratno integrabilne funkcije \(f\), se pravi \[\int_0^1 |f(t)|^2 dt < \infty.\] Za te funkcije po osnovnem izreku Fourierove analize velja konvergenca \[\lim_{N \to \infty} || f - f_N || = 0,\] torej lahko \(f\) razvijemo v Fourierovo vrsto.⁸⁸ Hkrati drži varianta Parsevalove formule \[||f||^2 = \sum_{k \in \mathbf{Z}} |\langle f, \chi_k \rangle|^2.\] Upodobitve \(\chi_k\) za \(k \in \mathbf{Z}\) torej tvorijo ortonormiran sistem funkcij, ki je gost v prostoru vseh dovolj lepih funkcij na \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\).

Fourierovo analizo lahko torej vidimo kot analog dekompozicije regularne upodobitve v primeru končnih grup za neskončno grupo \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\).

Poljubne kompaktne grupe

Izkaže se, da ima vse, kar smo videli za primer \(\mathop{\mathrm{U}}_1(\mathbf{C})\), ustrezno posplošitev za poljubno kompaktno grupo \(G\), na primer \(\mathop{\mathrm{SU}}_2(\mathbf{C})\) ali \(\mathop{\mathrm{SO}}_3(\mathbf{R})\). Za natančno obravnavo potrebujemo nekaj teorije mere, ki jo bomo prosto uporabili v tem podrazdelku.

V primeru grupe \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\) smo skalarni produkt na prostoru funkcij izrazili s pomočjo integrala. Izkaže se, da ima vsaka kompaktna grupa enolično verjetnostno mero \(\mu\), ki zadošča pogoju invariantnosti \(\mu(U) = \mu(g \cdot U) = \mu(U \cdot g)\) za vsako merljivo množico \(U\) in element \(g \in G\). To mero imenujemo Haarova mera. Z njo lahko definiramo integral vsake merljive funkcije \(f\). S pomočjo tega se nam odprejo vrata orodju povprečenja po grupi, ki ga lahko izkoristimo za različne namene.

Kot v primeru \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\) lahko vse upodobitve najdemo v ustreznem modelu regularne upodobitve. V splošnem opazujemo funkcije na kompaktni grupi \(G\), pri čemer se omejimo na prostor kvadratno integrabilnih merljivih funkcij in še te opazujemo le do ekvivalence skoraj povsod natančno. Prostor ekvivalenčnih razredov takih funkcij je \(L^2(G)\). Na tem prostoru deluje grupa \(G\) kot regularna upodobitev, \[\rho(g) \cdot f = x \mapsto f(x g).\] Ta prostor je seveda neskončnorazsežen. Znameniti Peter-Weylov izrek razkrije dekompozicijo te upodobitve, ki je popolnoma analogna tisti iz sveta končnih grup.

Kot v končnih grupah se s pomočjo matričnih koeficientov prepričamo, da je vsaka nerazcepna zvezna unitarna upodobitev vsebovana v regularni. V posebnem je zato vsaka zvezna unitarna upodobitev kompaktne grupe nujno končnorazsežna.

Zvezne linearne grupe

V tem razdelku si bomo ogledali, kako lahko razumemo teorijo upodobitev linearnih topoloških grup, ki lokalno izgledajo kot \(\mathbf{R}^n\) ali \(\mathbf{C}^n\). To so na primer grupe \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\), \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\), \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\), \(\mathop{\mathrm{SO}}_3(\mathbf{R})\), \(\mathop{\mathrm{SU}}_2(\mathbf{C})\). Zadnji dve grupi sta sicer kompaktni, tako da ju lahko razumemo tudi z orodji zadnjega razdelka. Tu se bomo zato osredotočili na nekompaktne zglede.

\(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\)

Grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) je zaprta podmnožica kompleksnega prostora \(\mathbf{C}^4\), dana z enačbo \(ad - bc = 1\). Ker je odvod determinantne preslikave v vsaki točki neničeln, je \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) podmnogoterost kompleksne razsežnosti \(3\). Pri opazovanju upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) bomo seveda upoštevali to strukturo, saj sicer dobimo preveč updobitev.⁸⁹ Smiselno bo opazovati upodobitve, pri katerih so matrični koeficienti zvezne ali celo gladke funkcije matrike, ki deluje. Glede na to, da je \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) kompleksna mnogoterost, lahko opazujemo tudi kompleksno analitične upodobitve. Na grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) lahko gledamo tudi kot na algebraično grupo,⁹⁰ zato ima smisel opazovati tudi le polinomske upodobitve. Kot bomo videli, so si nazadnje vse te različne oblike upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) med sabo zelo podobne.

Standardna upodobitev in njene potence

Grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) naravno deluje na vektorskem prostoru \(\mathbf{C}^2\) z množenjem matrik z vektorji. Označimo bazna vektorja kot \(X = e_1\) in \(Y = e_2\). Na ta način dobimo standardno upodobitev \[\rho_1 \colon {\textstyle \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C}) \to \mathop{\mathrm{GL}}_2(\mathbf{C})}, \quad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \left( (X,Y) \mapsto (X,Y) \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right).\] To upodobitev lahko vidimo kot upodobitev na prostoru linearnih polinomov v \(X\),\(Y\). V tej luči jo lahko naravno razširimo na prostor homogenih polinomov \(\mathbf{C}[X,Y]_k\) stopnje \(k \geq 1\).⁹¹ Baza tega prostora so monomi \(e_i = X^i Y^{k-i}\) za \(0 \leq i \leq k\), torej je \(\mathbf{C}[X,Y]_k\) razsežnosti \(k+1\). Formalno za razširitev \(\rho_1\) uporabimo simetrično potenco in dobimo \[{\textstyle \rho_k = \mathop{\mathrm{Sym}}^k(\rho_1) \colon \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C}) \to \mathop{\mathrm{GL}}(\mathbf{C}[X,Y]_k),} \quad g \mapsto \left( f(X,Y) \mapsto f((X,Y) \cdot g) \right).\] Eksplicitno se bazni monom \(e_i = X^i Y^{k-i}\) z upodobitvijo \(\rho_k\) preslika v \[\rho_k \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot X^i Y^{k-i} = (aX + cY)^i (bX + dY)^{k-i},\] kar brez težave razvijemo po monomih v \(\mathbf{C}[X,Y]_k\). Pri tem dobimo koeficiente, ki so polinomi v spremenljivkah \(a,b,c,d\), zato je upodobitev \(\rho_k\) polinomska.

Na ta način smo torej konstruirali neskončno mnogo nerazcepnih polinomskih upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) poljubne visoke stopnje. Zanimivo je, da te upodobitve niso unitarne. Lastne vrednosti unitarnih matrik so namreč nujno absolutne vrednosti \(1\), čemur upodobitve \(\rho_k\) ne zadoščajo. Kasneje bomo videli preprost argument, da niti njena podgrupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) nima netrivialnih končnorazsežnih unitarnih upodobitev. Upodobitve teh grup so torej bistveno drugačne od upodobitev kompaktnih grup, kjer so vse končnorazsežne nerazcepne upodobitve unitarne.

Linearizacija upodobitve

Princip za dokazovanje, da smo z upodobitvami \(\rho_k\) izčrpali vse dovolj lepe upodobitve grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\), temelji na linearizaciji. Vsako odvedljivo upodobitev \(\rho \colon \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C}) \to \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) lahko namreč obravnavamo kot preslikavo med mnogoterostmi, zato z njenim odvodom dobimo inducirano linearno preslikavo \[\textstyle D_I \rho \colon T_I \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C}) \to T_I \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\] med tangentnima prostoroma v identični matriki. Oglejmo si podrobneje, kako izgledata ta dva tangentna prostora in kaj točno je \(D_I \rho\).

Opazujmo najprej grupo \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\), ki je odprta podmnožica \(\mathbf{C}^{n^2}\). Njen tangentni prostor v \(I\) zato lahko identificiramo z vektorskim prostorom \(\mathbf{C}^{n^2}\), ki ga predstavimo v matrični obliki kot \[\textstyle \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C}) = \{ X \mid X \in \mathop{\mathrm{Mat}}_{n}(\mathbf{C}) \}.\] Ta opis je prikladen, ker omogoča jasen opis majhne okolice \(I\) v \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\). Za vsak tangentni vektor \(X \in \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\) imamo preslikavo \(\mathbf{R}\to \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\), \(t \mapsto tX\), ki jo lahko potisnemo v \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) z eksponentno preslikavo in dobimo gladko pot \[\gamma \colon \mathbf{R}\to {\textstyle \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})}, \quad t \mapsto e^{tX} = \sum_{i = 0}^{\infty} t^i X^i / i!\] v grupi \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\). Res, velja formula \(\det(\gamma(t)) = \det e^{tX} = e^{\mathop{\mathrm{tr}}(tX)}\),⁹³ zato je \(\gamma(t)\) obrnljiva matrika. Tangentni vektor poti \(\gamma\) v točki \(0\) izračunamo kot \[D_0 \gamma = \lim_{t \to 0} \frac{e^{tX} - I}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{I + tX + O(t^2) - I}{t} = X.\] Pot \(\gamma\) je torej gladka pot v \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) z začetno vrednostjo \(\gamma(0) = I\) in tangentnim vektorjem \(X\). Vsak tangentni vektor smo torej s pomočjo eksponentne preslikave uresničili kot tangentni vektor neke gladke poti skozi \(I\). Vsaj lokalno pa je res tudi obratno: vsaka gladka pot v \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) v neki okolici \(I\) izhaja iz gladke poti v \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\), potisnjene v \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) z eksponentno preslikavo. To sledi neposredno iz naslednje lastnosti eksponentne preslikave.

Eksponentna preslikava ima torej lokalno inverz, ki ga označimo z \(\log\). Za vsako gladko pot \(\gamma \colon \mathbf{R}\to \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) z \(\gamma(0) = I\) lahko torej najdemo \(\epsilon > 0\), da je pot \(\gamma |_{(-\epsilon, \epsilon)}\) oblike \(e^{\lambda}\), kjer je \(\lambda = \log \gamma \colon (-\epsilon, \epsilon) \to \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\) gladka pot v tangentnem prostoru.

S pomočjo eksponentne preslikave lahko dobro razumemo tudi tangentni prostor \(T_I \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) in njegovo lokalno povezavo z grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\). Izberimo poljuben tangentni vektor \(X \in T_I \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C}) \leq \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_2(\mathbf{C})\). Obstaja torej gladka pot \(\gamma \colon (-\epsilon, \epsilon) \to \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) z odvodom \(D_0 \gamma = X\). Po potrebi \(\epsilon\) še zmanjšamo in s tem po zadnji trditvi dosežemo, da je \(\gamma(t) = e^{\lambda(t)}\), kjer je \(\lambda \colon (-\epsilon, \epsilon) \to T_I \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) gladka pot. Pri tem velja \[X = D_0 \gamma = D_0 e \cdot D_0 \lambda = D_0 \lambda.\] Ker \(\gamma\) slika v \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\), za vsak \(t \in (- \epsilon, \epsilon)\) velja \[1 = \det (\gamma(t)) = e^{\mathop{\mathrm{tr}}(\lambda(t))},\] zato je \(\mathop{\mathrm{tr}}(\lambda(t)) = 0\) za vsak dovolj majhen \(t\). To enakost odvedemo v točki \(0\) in dobimo \(\mathop{\mathrm{tr}}(X) = 0\). Vsak vektor v \(T_I \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) zato pripada vektorskemu prostoru \[\textstyle \mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C}) = \{ X \in \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_2(\mathbf{C}) \mid \mathop{\mathrm{tr}}(X) = 0 \}.\] Res pa je tudi obratno. Vsak vektor \(X\) s sledjo \(0\) namreč določa pot \(\gamma \colon \mathbf{R}\to \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\), \(t \mapsto e^{tX}\). Velja \(\gamma(0) = I\) in \(D_0 \gamma = X\), torej je \(X \in T_I \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\).

Pod vsem povedanim lahko odvod upodobitve \(\rho \colon \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C}) \to \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) torej razumemo kot linearno preslikavo \[{\textstyle D_I \rho \colon \mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C}) \to \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C}),} \quad X \mapsto D_0 \rho(e^{tX}),\] ki tangentni vektor \(X \in \mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\) najprej pointegrira v pot \(\gamma(t) = e^{tX}\) v \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) za vrednosti \(t\) blizu \(0\), to pot preslika z upodobitvijo \(\rho\) v pot v \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) in izračuna odvod slednje poti, ki je tangentni vektor v \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\).

Liejeva algebra

Preslikava \(D_I \rho\) ni čisto poljubna linearna preslikava med vektorskimi prostori, temveč v sebi skriva še nekaj dodatne informacije glede grup \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) in \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\).

Grupa \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) deluje s konjugiranjem na svojem tangentnem prostoru, \[\textstyle \mathop{\mathrm{Ad}}\colon \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C}) \to \mathop{\mathrm{End}}(\mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})), \quad A \mapsto \left( X \mapsto A X A^{-1} \right).\] To delovanje imamo tudi z grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) in njenim tangentnim prostorom, saj za vsak \(X \in \mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\) velja \(\mathop{\mathrm{tr}}(AXA^{-1}) = \mathop{\mathrm{tr}}(X) = 0\).

Ni se težko prepičati, da je za vsak \(A \in \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) preslikava \(D_I \rho\) spletična glede na to delovanje. Za vsak \(Y \in \mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\) velja namreč \[D_I \rho \cdot \mathop{\mathrm{Ad}}(A) \cdot Y = D_0 \left( \rho(e^{t A Y A^{-1}}) \right) = \mathop{\mathrm{Ad}}(\rho(A)) \cdot D_I \rho \cdot Y.\] V posebnem za vsak tangentni vektor \(X \in \mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\) velja ta formula za \(A = e^{tX}\). Izračunajmo odvod leve in desne strani v točki \(t = 0\). Z uporabo verižnega pravila leva stran postane \[\textstyle D_I \rho \cdot D_0 \left( e^{tX} Y e^{-tX} \right) = D_I \rho \cdot (XY - YX),\] desna stran pa postane \[\textstyle D_0 \left( \rho(e^{tX}) (D_I \rho \cdot Y) \rho(e^{-tX}) \right) = (D_I \rho \cdot X) (D_I \rho \cdot Y) - (D_I \rho \cdot Y) (D_I \rho \cdot X).\] Označimo \([X,Y] = XY - YX\). Velja torej \[D_I \rho \cdot [X,Y] = [D_I \rho \cdot X, D_I \rho \cdot Y],\] kar pomeni, da preslikava \(D_I \rho\) spoštuje operaciji \([\cdot, \cdot]\) na \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\) in \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\).

Na oba tangentna prostora zato gledamo kot na vektorska prostora, ozaljšana z binarno operacijo \([\cdot, \cdot]\). Ta operacija je bilinearna in kratek račun pokaže, da zadošča enakostima \[[X,Y] = -[Y,X], \quad [[X,Y], Z] + [[Y,Z], X] + [[Z,X], Y] = 0\] za vse tangentne vektorje \(X,Y,Z\). Abstraktnim vektorskim prostorom s tako binarno operacijo pravimo Liejeve algebre. Te algebre tvorijo kategorijo: morfizmi med dvema algebrama so preslikave, ki spoštujejo vso strukturo, in jim zato upravičeno pravimo Liejevi homomorfizmi.⁹⁴ Kadar Liejev homomorfizem slika iz dane Liejeve algebre \(L\) v \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\), po analogiji z grupami rečemo, da imamo Liejevo upodobitev. Te upodobitve lahko primerjamo med sabo s spletičnami in zato govorimo o izomorfnostnih razredih Liejevih upodobitev.⁹⁵ Prav tako na smiseln način posplošimo pojem nerazcepne upodobitve.⁹⁶

Tangentna prostora \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\) in \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_2(\mathbf{C})\) sta torej Liejevi algebri in odvod upodobitve \(D_I \rho\) je Liejev homomorfizem, na katerega lahko gledamo kot na Liejevo upodobitev Liejeve algebre \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\). Vsaka upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) nam torej da Liejevo upodobitev njene Liejeve algebre. Kadar ima upodobitev grupe kakšen netrivialen invarianten podprostor, je ta invarianten tudi za delovanje Liejeve algebre. Razcepne upodobitve grupe dajo torej razcepne upodobitve Liejeve algebre. Z drugimi besedami, nerazcepne upodobitve Liejeve algebre, ki izhajajo iz upodobitve grupe, lahko izhajajo le iz nerazcepnih upodobitev grupe. Zaradi tega je še posebej pomembno, da opišemo vse nerazcepne upodobitve Liejeve algebre.

Integracija upodobitve

Vsaka upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) se odvede v Liejevo upodobitev Liejeve algebre \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\). Neverjetno je, da velja tudi obratno: vsaka Liejeva upodobitev se pointegrira do upodobitve grupe.

Dokaz te trditve sloni na uporabi eksponentne preslikave in njenega inverza \(\log\). Naj bo \(U \subseteq \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) dovolj majhna okolica \(I\), da je na njej \(\log\) difeomorfizem v neko okolico enote \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\). Po potrebi \(U\) še zmanjšamo, da je \(U^{-1} = U\) in da je \(\log |_{U \cdot U}\) še vedno difeomorfizem. Vsaki matriki \(A \in U\) lahko lahko priredimo \(\log A\), ki jo s \(\phi\) preslikamo v \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\) in nazadnje dvignemo nazaj do grupe z eksponentno preslikavo. Na ta način dobimo gladko funkcijo \[\textstyle \rho \colon U \subseteq \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C}) \to \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C}), \quad A \mapsto e^{\phi(\log A)}.\] Odvod te funkcije v \(I\) je na tangentnem vektorju \(X \in \mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\) enak \[\textstyle D_I \rho \cdot X = D_0 \rho(e^{tX}) = D_0 e^{\phi(\log e^{tX})} = D_0 e^{\phi(tX)} = D_0 e^{t \phi(X)} = \phi(X),\] torej je \(D_I \rho = \phi\) in smo \(\phi\) pointegrirali na neko dovolj majhno okolico \(I\).

Prepričajmo se, da je \(\rho\) blizu tega, da bi bila homomorfizem. Naj bosta \(A,B \in U\) poljubni matriki. Velja \[\rho(A) \rho(B) = e^{\phi(\log A)} e^{\phi(\log B)}, \quad \rho(AB) = e^{\phi(\log(AB))}.\] Če bi logaritem pretvoril produkt v vsoto in eksponentna funkcija vsoto v produkt, potem bi iz linearnosti \(\phi\) takoj sledilo, da sta oba izraza enaka. V splošnem žal matrični logaritem in eksponentna funkcija nimata te lastnosti. Za vsaka \(X,Y \in \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\) lahko z nekaj truda z uporabo razvoja v Taylorjevo vrsto izračunamo vrednost \[\log(e^X e^Y) = X + Y + \frac{1}{2} [X,Y] - \frac{1}{12}[[X,Y],X] + \frac{1}{12} [[X,Y], Y] + \cdots,\] ki ji pravimo Baker-Campbell-Hausdorffova formula. Res torej v splošnem ne velja \(\log(e^X e^Y) = X+Y\), tolažilna lastnost razvoja pa je, da so vsi členi izrazljivi z Liejevim produktom \([\cdot,\cdot]\) v \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\). To pomeni, da za \(A = e^X\), \(B = e^Y\) velja \[\begin{aligned} \phi(\log(AB)) &= \phi \left( X + Y + \frac{1}{2}[X,Y] + \cdots \right) \\ &= \phi(X) + \phi(Y) + \frac{1}{2}[\phi(X), \phi(Y)] + \cdots \\ &= \log(e^{\phi(\log A)} e^{\phi(\log B)}),\end{aligned}\] kjer smo v srednji enakosti upoštevali, da je \(\phi\) Liejev homomorfizem. Od tod sklepamo, da res velja \(\rho(A)\rho(B) = \rho(AB)\) za vsaka \(A,B \in U\). Preslikava \(\rho\) je torej vsaj lokalno homomorfizem.

Pogovorimo se še o tem, kako lahko razširimo \(\rho\) na celo grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\). Prepričajmo se najprej, da množica \(U\) generira grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\). Upodobitev bo torej enolično določena s svojimi vrednostmi na \(U\). Izberimo poljuben \(A \in \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\). Ker je \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) povezan topološki prostor, najdemo gladko pot \(\gamma \colon [0,1] \to \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) z \(\gamma(0) = I\), \(\gamma(1) = A\). Ta pot je na kompaktne intervalu enakomerno zvezna, zato obstajajo indeksi \(0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_m = 1\), tako da za vsaka \(t_i \leq s < t \leq t_{i+1}\) velja \(\gamma(t) \gamma(s)^{-1} \in U\). S tem lahko zapišemo \[A = \gamma(t_m) = \prod_{i = m}^1 \left( \gamma(t_i) \gamma(t_{i-1})^{-1} \right).\] Ker je \(\gamma(t_i) \gamma(t_{i-1})^{-1} \in U\), kjer že imamo definiran \(\rho\), lahko definicijo razširimo na \(A\) s predpisom \[\rho(A) = \prod_{i = m}^{1} \rho \left( \gamma(t_i) \gamma(t_{i-1})^{-1} \right).\] Seveda moramo preveriti, da je ta definicija neodvisna od izbire delilnih točk \(t_0, t_1, \dots, t_m\) in od izbire poti \(\gamma\).

Prepričajmo se najprej, da z isto potjo \(\gamma\) drugačna izbira delilnih točk privede do enakega rezultata, če je le zadoščeno pogoju \(\gamma(t) \gamma(s)^{-1} \in U\) za vsaka \(t_i \leq s < t \leq t_{i+1}\). V ta namen bo dovolj premisliti, da se definicija \(\rho(A)\) ne spremeni, če pofinimo izbiro delilnih točk, se pravi če dodamo še nekaj dodatnih točk.⁹⁹ Za to pa bo dovolj preveriti, da se definicija \(\rho(A)\) ne spremeni, če dodamo eno samo dodatno delilno točko, na primer med \(t_i\) in \(t_{i-1}\) vrinemo nek \(s\). V tem primeru se v definiciji \(\rho(A)\) spremeni le faktor \(\rho(\gamma(t_i) \gamma(t_{i-1})^{-1})\), in sicer ga zamenjamo s produktom \[\rho(\gamma(t_i) \gamma(s)^{-1}) \rho(\gamma(s) \gamma(t_{i-1})^{-1}).\] Ker je \(\rho\) homomorfizem na \(U\), je zadnji člen enak \(\rho(\gamma(t_i) \gamma(t_{i-1})^{-1})\), torej se vrednost \(\rho(A)\) res ohrani pri dodajanju ene delilne točke. Definicija \(\rho(A)\) je zato neodvisna od izbire delilnih točk.

Za neodvisnost od izbire poti potrebujemo nekaj algebraične topologije.

S tem je dokaz trditve o integriranju Liejevih upodobitev \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\) zaključen.

Nerazcepne upodobitve \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\)

Vzpostavili smo bijekcijo med analitičnimi upodobitvami grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) in Liejevimi upodobitvami njene Liejeve algebre, ki ohranja nerazcepnost. Ker že poznamo nerazcepne upodobitve \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\), dobimo vse nerazcepne analitične upodobitve grupe.

Na grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) bi lahko gledali kot na realno grupo.¹⁰⁰ V tem primeru bi njene gladke upodobitve dobili iz Liejevih upodobitev njene Liejeve algebre \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C})\), na katero bi gledali kot na realno Liejevo algebro.¹⁰¹ Teh upodobitev je nekoliko več. Vsako od upodobitev \(\rho_k\) lahko namreč še konjugiramo. Izkaže se, ni presenetljivo in ni težko, da vse nerazcepne realne Liejeve upodobitve dobimo kot tenzorske produkte teh.

Večino od povedanega v tem razdelku je razširljivo na poljubne topološke grupe, ki imajo strukturo realne ali kompleksne mnogoterosti, pri čemer sta množenje in invertiranje zvezni, gladki ali analitični operaciji. Takim grupam pravimo Liejeve grupe. Eksaktno korespondenco med upodobitvami Liejeve grupe in njene prirejene Liejeve algebre izgubimo, če grupa ni enostavno povezana.

\(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\)

Grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) se pojavlja vsepočez matematike, predvsem prek svojih delovanj na različnih prostorih. Njene različne plasti odstira knjiga (Lang 1985). Zelo na kratko si bomo ogledali njeno bogato teorijo upodobitev.

Gladke upodobitve

Upodobitve \(\rho_k\) grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\) lahko zožimo na podgrupo realnih matrik \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\). Na ta način z analognim razmislekom kot v prejšnjem razdelku dobimo vse dovolj lepe upodobitve.

V kontekstu realnih Liejevih grup se sicer izkaže, da je vsaka zvezna končnorazsežna upodobitev avtomatično gladka.¹⁰³ To seveda ne velja za kompleksne Liejeve grupe, kjer lahko vsako analitično upodobitev konjugiramo in dobimo upodobitev, ki je sicer gladka, a ne nujno analitična. Upodobitve \(\rho_k\) torej podajajo vse zvezne končnorazsežne upodobitve grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\).

Unitarne upodobitve

Nobena od upodobitev \(\rho_k\) ni unitarna. Če želimo konstruirati unitarne upodobitve, moramo poseči po neskončnorazsežnih vektorskih prostorih. Te upodobitve lahko konstruiramo s pomočjo delovanj grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\). Ogledali si bomo en primer take konstrukcije.

Grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) deluje na hiperbolični ravnini \[\mathbf{H}= \{ z \in \mathbf{C}\mid \mathop{\mathrm{Im}}(z) > 0 \}\] s predpisom \[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot z = \frac{az + b}{cz + d}.\] To delovanje je tranzitivno. Ni se težko prepričati, da stabilizator točke \(i \in \mathbf{H}\) sestoji iz kompaktne množice matrik \[{\textstyle \mathop{\mathrm{SO}}_2(\mathbf{R})} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a^2 + b^2 = 1 \right\} \cong \mathop{\mathrm{U}}_1(\mathbf{C}) = S^1.\] Delovanje \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) na \(\mathbf{H}\) je torej ekvivalentno delovanju \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) na množici svojih desnih odsekov po kompaktni podgrupi \(\mathop{\mathrm{SO}}_2(\mathbf{R})\). To permutacijsko delovanje na prostoru \(\mathbf{C}[\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})/\mathop{\mathrm{SO}}_2(\mathbf{R})]\) lahko pretvorimo v upodobitev \(\rho_k\) za vsak \(k \geq 2\) z delovanjem na prostorih holomorfnih integrabilnih funkcij \[D_k = \left\{ f \colon \mathbf{H}\to \mathbf{C}\mid \text{$f$ holomorfna}, \ \int_{\mathbf{H}} |f(z)|^2 y^k \frac{dx dy}{y^2} < \infty \right\},\] in sicer definiramo \[\rho_k \colon {\textstyle \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})} \to \mathop{\mathrm{GL}}(D_k), \quad \rho_k \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot f (z) = (-cz + a)^{-k} \cdot f\left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} \cdot z \right).\] Izkaže se, da je \(\rho_k\) nerazcepna unitarna upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) na neskončnorazsežnem Hilbertovem prostoru \(D_k\) in da so te upodobitve med sabo neizomorfne. Na ta način dobimo celo vrsto nerazcepnih unitarnih upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\), ki jim pravimo upodobitve diskretne vrste.

Z opazovanjem drugih zanimivih podgrup v \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) najdemo še kakšne druge unitarne upodobitve. Še posebej zanimiva je diskretna podgrupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\). Z njo dobimo kvocientno množico \(Y = \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z}) \backslash \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\). Na grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) lahko s pomočjo projekcije \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R}) \to \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})/\mathop{\mathrm{SO}}_2(\mathbf{R}) = \mathbf{H}\) prenesemo mero, ki jo nato potisnemo na \(Y\), tako da lahko opazujemo prostor funkcij \(L^2(Y)\), na katerem deluje grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\). V tem prostoru lahko najdemo mnogo nerazcepnih unitarnih podupodobitev. Še posebej zanimive so upodobitve, ki so konsturirane s pomočjo indukcije unitarnih upodobitev Borelove podgrupe zgornjetrikotnih matrik. Te imenujemo upodobitve glavne vrste in jih lahko vidimo kot posplošitev upodobitev glavne vrste iz teorije upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{GL}}_2(\mathbf{F}_p)\).

Poleg teh dveh družin upodobitev ima grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) še eno nekoliko bolj nenavadno družino unitarnih nerazcepnih upodobitev, ki jih dobimo z indukcijo določenih neunitarnih upodobitev Borelove podgrupe. Te upodobitve tvorijo družino upodobitev komplementarne vrste.

Izkaže se, da vse netrivialne nerazcepne unitarne upodobitve grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{R})\) lahko dobimo iz ene od opisanih družin upodobitev.

Razumevanje neskončnorazsežnih nerazcepnih unitarnih upodobitev poljubnih Liejevih grup je eden od pomembnih nedoseženih ciljev teorije upodobitev. Nekaj znanih rezultatov skupaj z vizijo o tem, kako naprej, je predstavljenih v zelo dostopnem članku (Vogan 2007).

Diskretne linearne grupe

Nazadnje si bomo pogledali še nekaj zgledov upodobitev diskretnih neskončnih grup, in sicer \(\mathop{\mathrm{SL}}_m(\mathbf{Z})\). V zadnjem zgledu smo videli, da te igrajo vlogo pri opisovanju unitarnih upodobitev Liejevih grup. Te grupe niso ozaljšane z uporabno topologijo, zato bomo opazovali kar običajne abstraktne končnorazsežne kompleksne upodobitve. Kot bomo videli, se te grupe obnašajo bistveno različno za \(m = 2\) oziroma za \(m \geq 3\).

\(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\)

Osnovne poteze

Grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\) je diskretna podgrupa Liejeve grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\). Ta grupa je opremljena z naravnim kongruenčnim homomorfizmom \[\textstyle \pi_N \colon \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z}) \to \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})\] za vsako naravno število \(N\), ki vnose matrike reducira po modulu \(N\).

V posebnem za vsako praštevilo \(p\) dobimo homomorfizem v grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{F}_p)\), ki jo že dobro poznamo. Z analognim argumentom kot v primeru tega končnega kvocienta se prepričamo, da matriki \[S_+ = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad S_- = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\] generirata grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\). V tej neskončni grupi se sicer izkaže, da nam bolj prav prideta matriki \[A = S_+^{-1} S_- S_+^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = S_+^{-1} S_- = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\] ki prav tako generirata \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\). Za ti dve matriki velja \(A^2 = B^3 = -I\). Kot v končnem primeru lahko tvorimo modularno grupo \[{\textstyle \mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})} = \frac{\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})}{\{ I, -I \}}.\] Naj bosta \(a,b\) sliki matrik \(A,B\) v \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\). Velja torej \(a^2 = b^3 = 1\). Ker matriki \(a,b\) generirata grupo \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\), lahko vsak njen element zapišemo kot besedo s črkama \(a\) in \(b\). Glavna prednost alternativne izbire generatorjev izhaja iz dejstva, da ima vsak element enoličen tak zapis.¹⁰⁴

Upodobitve

Namesto upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\) opazujmo upodobitve nekoliko enostavnejše grupe \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\). Vsak homomorfizem te grupe v katerokoli grupo \(G\) je določen s sliko generatorjev \(a,b\). Glede na enolično predstavitev elementov grupe \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\) pa je res tudi obratno: za vsako izbiro elementov \(X,Y \in G\) z lastnostjo \(X^2 = Y^3 = 1\) lahko na enoličen način predpišemo homomorfizem¹⁰⁶ \[\textstyle \rho \colon \mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z}) \to G, \quad a \mapsto X, \ b \mapsto Y.\] Na ta način dobimo mnogo homomorfizmov v različne grupe \(G\).

Grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\) ima torej končne kvociente \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{F}_p)\) in \(A_n\), ki tvorijo standardne predstavnike končnih enostavnih grup. Vsaka od teh končnih grup nam da svoje nerazcepne upodobitve, s čimer po restrikciji dobimo mnogo različnih nerazcepnih upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\). Teorija upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\) bo torej zajemala bolj ali manj vso kompleksnost teorije upodobitev končnih enostavnih grup. Težko si je predstavljati, kako vse te spraviti pod eno streho.

Obravnave vseh upodobitev se lotimo sistematično po razsežnostih. Vsaka \(n\)-razsežna kompleksna upodobitev je določena z izbiro matrik \(X,Y \in \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) z lastnostjo \(X^2 = Y^3 = I\). Upodobitve nas zanimajo le do izomorfizma natančno, kar pomeni, da moramo za razumevanje izomorfnostnih razredov upodobitev razumeti kvocientno množico \[{\textstyle \mathop{\mathrm{Rep}}_n} = \frac{\{ (X, Y) \in \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C}) \times \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C}) \mid X^2 = Y^3 = I \}} {\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})},\] pri čemer grupa \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) deluje s hkratnim konjugiranjem na parih matrik, se pravi \(A \cdot (X,Y) = (A X A^{-1}, A Y A^{-1})\) za \(A \in \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\).¹⁰⁷ Elementi množice \(\mathop{\mathrm{Rep}}_n\) predstavljajo ravno vse predstavnike izomorfnostnih razredov \(n\)-razsežnih upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\).

Opišimo najprej enorazsežne upodobitve \(\mathop{\mathrm{Rep}}_1\). Za števili \(X,Y \in \mathbf{C}^*\) mora veljati \(X \in \{1, -1 \}\) in \(Y \in \{ 1, \zeta, \zeta^2 \}\), kjer je \(\zeta = e^{2 \pi i / 3}\). Delovanje grupe \(\mathbf{C}^*\) na parih je v tem primeru kar trivialno. Velja torej \[\textstyle \mathop{\mathrm{Rep}}_1 = \{ 1, -1 \} \times \{ 1, \zeta, \zeta^2 \}\] in imamo \(6\) enorazsežnih upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\).

Oglejmo si sedaj še dvorazsežne upodobitve \(\mathop{\mathrm{Rep}}_2\). Kot bomo videli, je teh neštevno mnogo. Sistematično obravnavajmo vse možnosti za matriki \(X,Y\).

1. Če je \(X\) ali \(Y\) skalarna matrika, potem lahko s konjugiranjem dosežemo, da sta obe matriki hkrati diagonalni. Predpostavimo najprej, da je \(X\) skalarna. Zaradi pogoja \(X^2 = I\) to pomeni, da je \(X = \alpha I\) za \(\alpha \in \{ 1, -1 \}\). Po konjugiranju lahko dosežemo, da je \(Y\) diagonalna matrika z diagonalnima členoma \(a, b \in \{ 1, \zeta, \zeta^2 \}\) (upoštevajoč \(Y^3 = I\)). Imamo torej dve možnosti za \(X\) in šest možnosti za \(Y\). Oglejmo si zdaj še možnost, ko je \(Y\) skalarna, \(X\) pa ni skalarna. To pomeni \(Y = \beta I\) za \(\beta \in \{ 1, \zeta, \zeta^2 \}\). Po konjugiranju lahko dosežemo, da je \(X\) diagonalna matrika z diagonalnima členoma \(1, -1\) (\(X\) ni skalarna in \(X^2 = I\)). Imamo torej tri možnosti za \(Y\) in eno samo za \(X\). Skupaj dobimo \(15\) upodobitev. Vse te upodobitve so seveda razcepne.

2. Če niti \(X\) niti \(Y\) nista skalarni matriki, potem imata obe dve različni lastni vrednosti. Po konjugiranju lahko matriki \(X\), \(Y\) zato zapišemo v obliki \[X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\] za neke \(a,b,c,d \in \mathbf{C}\). Centralizator matrike \(X\) v \(\mathop{\mathrm{GL}}_2(\mathbf{C})\) je enak torusu diagonalnih matrik. S temi matrikami lahko torej še dodatno konjugiramo in poenostavimo matriko \(Y\). Ločimo več možnosti.¹⁰⁸

   1. Če je \(c = 0\) in \(b = 0\), potem je \(Y\) diagonalna matrika. Njeni lastni vrednosti sta različna tretja korena enote, zato je \(Y\) oblike \[Y = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}\] za \(a,d\in \{ 1, \zeta, \zeta^2 \}\), \(a \neq d\). Vse te upodobitve so seveda razcepne. Število vseh je \(6\).

   2. Če je \(c = 0\) in \(b \neq 0\), potem je \(Y\) zgornjetrikotna matrika. Njeni lastni vrednosti sta različna tretja korena enote in z dodatnim konjugiranjem z diagonalno matriko dosežemo, da je \(b = 1\), zato je \(Y\) oblike \[Y = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & d \end{pmatrix}\] za \(a,d\in \{ 1, \zeta, \zeta^2 \}\), \(a \neq d\). Vse te upodobitve so seveda razcepne. Število vseh je \(6\).

      Analogno dobimo \(6\) razcepnih upodobitev, ko je \(c \neq 0\) in \(b = 0\).

   3. Če je \(c \neq 0\) in \(b \neq 0\), potem z dodatnim konjugiranjem z diagonalno matriko dosežemo, da je \(Y\) oblike \[Y = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & d \end{pmatrix}\] za \(b \in \mathbf{C}^*\). Pri tem je determinanta te matrike enaka \(\delta = ad-b\), sled pa je enaka \(\tau = a + d\). Ker sta lastni vrednosti \(Y\) različna tretja korena enota, so edine možnosti \[(\tau, \delta) \in \{ (\zeta + \zeta^2, 1), (1 + \zeta, \zeta), (1 + \zeta^2, \zeta^2) \}.\] Za vsako od teh možnosti števili \(a,d\) določimo kot rešitvi enačbe \(\lambda^2 - \tau \lambda + \delta + b = 0\). Če je \(b = (\tau^2 - 4 \delta)/4\), dobimo eno samo matriko \(Y\), sicer pa imamo dve različni možnosti. Vse te upodobitve so nerazcepne, saj \(Y\) v nobenem primeru ne ohranja nobenega od standardnih baznih podprostorov. Vseh teh upodobitev je neštevno mnogo.

Sorodno obravnavo bi lahko izvedli v poljubni razsežnosti.

\(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\)

Oglejmo si še grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) kot zgled aritmetične mreže višjega ranga.

Prezentacija

Upodobitve \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) bi lahko skušali razumeti na podoben način kot \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\). Standardna generatorska množica sestoji iz matrik oblike \(T_{ij} = I + E_{ij}\) za \(1 \leq i, j \leq 3\), \(i \neq j\), kjer je \(E_{ij}\) matrika z vnosom \(1\) na mestu \((i,j)\) in \(0\) sicer. Kot v prejšnjem razdelku pa se zadeve poenostavijo z nestandardno izbiro generatorjev \[x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad z = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.\] Na ta način lahko dobimo precej preprosto prezentacijo te grupe, ki je podobna zelo uporabnemu opisu grupe \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\) z generatorjema \(a,b\) iz prejšnjega razdelka. Bistvena razlika je, da ta prezentacija vsebuje nekaj pogojev med generatorji \(x,y,z\), ki niso tako zelo enostavne oblike kot v grupi \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\). Izkaže se (Conder-Robertson-Williams 1992), da vse te pogoje lahko zajamemo z naslednjimi enakostmi:¹⁰⁹ \[x^3 = y^3 = z^2 = (xz)^3 = (yz)^3 = (x^{-1}zxy)^2 = (y^{-1}zyx)^2 = (xy)^6 = I.\] Z drugimi besedami, če želimo podati upodobitev \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) v \(\mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\), potem moramo izbrati matrike \(X,Y,Z \in \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\), ki zadoščajo vsem tem enakostim. Vsaka taka izbira se enolično razširi do upodobitve, ki preslika \(x,y,z\) v \(X,Y,Z\).

Če naivno skušamo poiskati matrike v \(\mathop{\mathrm{GL}}_2(\mathbf{C})\) ali \(\mathop{\mathrm{GL}}_3(\mathbf{C})\), ki zadoščajo tem enakostim, odkrijemo, da zaradi teh dodatnih restriktivnih pogojev dobimo bistveno manj rešitev kot v primeru grupe \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\). Teorija upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) je, kot bomo videli, precej bolj strukturirana.

Končni kvocienti

Razliko med grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\) in \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) lahko jasno vidimo v njunih končnih kvocientih. Kot v dvorazsežnem primeru imamo surjektivne kongruenčne homomorfizme \[\textstyle \pi_N \colon \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}) \to \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}).\] Jedra teh homomorfizmov so kongruenčne podgrupe. Izkaže se (Bass-Lazard-Serre 1964), da pa tukaj (in v vseh \(\mathop{\mathrm{SL}}_m(\mathbf{Z})\) za \(m \geq 3\)) ni nobenih bistveno drugačnih homomorfizmov v končne grupe. Natančneje, vsak homomorfizem \(\alpha \colon \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}) \to G\) v končno grupo \(G\) se faktorizira prek nekega kongruenčnega homomorfizma \(\pi_N\). Povedano še drugače, vsaka podgrupa \(H \leq \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) končnega indeksa vsebuje neko kongruenčno podgrupo. Tej lastnosti grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) rečemo lastnost kongruenčnih podgrup.¹¹⁰

Vsak končni kvocient \(G\) grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) ima svoje nerazcepne upodobitve, ki jih z restrikcijo potegnemo do nerazcepnih upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\). Po lastnosti kongruenčnih podgrupe je tak \(G\) nujno kvocient \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})\) za nek \(N\), zato bo dovolj opazovati nerazcepne upodobitve kongruenčnih kvocientov. Če je \(N\) praštevilo, te zelo dobro razumemo s tehnikami upodobitev končnih grup. V splošnem iz praštevilske faktorizacije \(N = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}\) z uporabo Kitajskega izreka o ostankih dobimo \[\textstyle \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}) \cong \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p_1^{k_1}\mathbf{Z}) \times \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p_2^{k_2}\mathbf{Z}) \times \cdots \times \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p_m^{k_m}\mathbf{Z}).\] Razumeti moramo torej upodobitve grup \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z})\) za praštevilo \(p\) in vse potence \(k \geq 1\).

\(p\)-adične grupe

Vse kolobarje \(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}\) za \(k \geq 1\) lahko opazujemo hkrati, in sicer tako, da jih zložimo v ravno vrsto \[\cdots \to \mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}\to \cdots \to \mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z}\to \mathbf{Z}/p\mathbf{Z},\] pri čemer so homomorfizmi \(r_k \colon \mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}\to \mathbf{Z}/p^{k-1}\mathbf{Z}\) redukcije po modulu \(p^{k-1}\). Tvorimo inverzno limito te vrste, \[\textstyle \varprojlim_{k \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z} = \left\{ (\dots, x_k, \dots, x_2, x_1) \in \prod_{k \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}\mid \forall k \in \mathbf{N}\colon \ r_k(x_k) = x_{k-1} \right\}.\] Ker je vsak \(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}\) kolobar, je tudi ta limita kolobar. Pravimo mu kolobar \(p\)-adičnih celih števil in ga označimo z \(\mathbf{Z}_p\). Kolobar celih števil \(\mathbf{Z}\) se naravno vloži v \(\mathbf{Z}_p\) s preslikavo \(n \mapsto (n)_{k \in \mathbf{N}}\).

Vse končne kolobarje \(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}\) opremimo z diskretno topologijo in njihov produkt s produktno topologijo, tako da je \(\mathbf{Z}_p\) tudi topološki prostor. Po izreku Tihonova je produkt vseh \(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}\) kompakten, \(\mathbf{Z}_p\) pa tvori zaprto množico v tem produktu, zato je tudi \(\mathbf{Z}_p\) kompakten topološki prostor.¹¹¹

Na enak način lahko opazujemo vse grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z})\) hkrati. Zložimo jih v ravno vrsto \[\textstyle \cdots \to \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}) \to \cdots \to \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z}) \to \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})\] s prehodnimi homomorfizmi \(r_k \colon \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}) \to \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p^{k-1}\mathbf{Z})\) in tvorimo inverzno limito \[\textstyle \varprojlim_{k \in \mathbf{N}} \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}) = \mathop{\mathrm{SL}}_3(\varprojlim_{k \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}) = \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}_p).\] Grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}_p)\) podeduje topologijo iz prostora \(\mathbf{Z}_p^9\), zato je kompaktna topološka grupa. Ta grupa naravno vsebuje \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) in po definiciji je opremljena z zveznimi projekcijami v kongruenčne kvociente \[\textstyle \widetilde{\pi_{p^k}} \colon \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}_p) \to \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z})\] za vsak \(k \in \mathbf{N}\). Ker so končni kvocienti opremljeni z diskretno topologijo, so jedra teh homomorfizmov odprte podgrupe v \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}_p)\). Ko \(k\) raste, te podgrupe postajajo vedno manjše.

Iz te lastnosti je razvidno, da se grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}_p)\) obnaša zelo drugače kot Liejeva grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{C})\).

Kljub tej razliki pa je vendarle zelo plodno gledati na \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}_p)\) kot na podgrupo splošne linearne grupe \(\mathop{\mathrm{GL}}_3(\mathbf{Q}_p)\) poljem kvocientov \(\mathbf{Q}_p\) kolobarja \(\mathbf{Z}_p\) in jo v tej luči obravnavati kot neke vrste Liejevo grupo nad sicer nenavadnim poljem \(\mathbf{Q}_p\). Grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}_p)\) je na ta način poseben primer \(p\)-adične analitične grupe. Razviti je mogoče analogno teorijo Liejevih grup nad \(p\)-adičnimi števili, ki omogoča, da njihove upodobitve razumemo s pomočjo njihovih prirejenih Liejevih algeber. Na ta način je mogoče izpeljati veliko zanimivih rezultatov o upodobitvah teh grup. Na primer (Aizenbud-Avni 2015), obstaja konstanta \(C\), da je število nerazcepnih kompleksnih \(n\)-razsežnih upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_m(\mathbf{Z}_p)\) kvečjemu \(C n^{22}\) za vsak \(m \geq 3\).

Vse upodobitve kongruenčnih kvocientov grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) lahko torej zajamemo tako, da opazujemo le upodobitve \(p\)-adične kompaktne grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}_p)\). Prepričajmo se še, da na ta način ne bomo zajeli nič drugih upodobitev.

Nazadnje lahko torej vse upodobitve grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\), ki se faktorizirajo prek upodobitev končnih grup, razumemo kot zožitve zveznih upodobitev produktov \(p\)-adičnih grup po vseh praštevilih \(p\), se pravi zveznih upodobitev grupe \[\prod_{p \in \mathbf{P}} {\textstyle \mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z}_p)},\] ki jo označimo kot \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\widehat{\mathbf{Z}})\).

Nerazcepne upodobitve

Nerazcepne upodobitve grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) lahko konstruiramo s pomočjo nerazcepnih upodobitev grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\widehat{\mathbf{Z}})\) ali pa kot restrikcijo nerazcepnih upodobitev običajne Liejeve grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{C})\). Te upodobitve lahko tenzorsko množimo med sabo. Neverjetno je, da na ta način dobimo vse nerazcepne upodobitve grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\). Konceptualno lahko to pojasnimo z naslednjo lastnostjo dviganja upodobitev.

Izrek sloni na Margulisovi superrigidnosti diskretnih podgrup v Liejevih grupah. Za grupo \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) jo lahko izrazimo na naslednji način.

Vsaka upodobitev \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) torej do končnega kvocienta natančno izhaja iz upodobitve \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{C})\). Da pokrijemo še vse možne končne kvociente, upoštevamo še zvezne upodobitve \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\widehat{\mathbf{Z}})\). Z nekaj truda se da s to intuicijo hitro izpeljati Lubotzkyjev izrek.

V posebnem je vseh nerazcepnih upodobitev \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) le števno mnogo, kar je v ostrem nasprotju z neštevno mnogo upodobitvami \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{Z})\). Vse povedano se da razširiti na grupe \(\mathop{\mathrm{SL}}_m(\mathbf{Z})\) za \(m \geq 3\).

---

1. Prostor \(F[G]\) je vektorski prostor nad \(F\), generiran z množico \(G\). Običajno mu pravimo grupna algebra, saj ta prostor na naraven način podeduje operacijo množenja iz grupe \(G\).↩︎

2. Angleško intertwiner.↩︎

3. Z opustitvijo eksplicitnih oznak za delovanja lahko ta pogoj pišemo krajše kot \(\Phi(gv) = g\Phi(v)\).↩︎

4. Generator \(\bar 1 = 1 + n\mathbf{Z}\in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) deluje kot cikel \((1 \ 2 \ \cdots \ n)\).↩︎

5. Pozor, karakteristična funkcija je zasidrana pri inverzu elementa \(\bar x\) v \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\).↩︎

6. Na primer, precej dobro bomo opisali upodobitve poljubne končne grupe nad poljem kompleksnih števil.↩︎

7. Kadar je \(\chi(g) = 1\) za vsak \(g \in G\), je ta upodobitev izomorfna \(\mathbf{1}\). Kadar je \(\chi(g) \neq 1\) za vsaj kak \(g \in G\), pa ta upodobitev ni trivialna.↩︎

8. Namreč, \(v = \Phi(1)\) in \(\chi(g) = \rho(g) \cdot 1\).↩︎

9. Poseben primer te preslikave smo videli za grupo \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), kjer smo premislili, da je celo bijektivna.↩︎

10. Slika \(\mathop{\mathrm{im}}\Phi\) namreč sestoji iz funkcij, ki so neničelne le v končno mnogo elementih grupe \(G\).↩︎

11. To sledi na primer iz dejstva, da prostora \(F[G]^G\) in \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,F)^G\) nista izomorfna.↩︎

12. Prehodna matrika iz baze \(e_i\) v bazo \(f_j\) je ravno Vandermondova matrika.↩︎

13. Na primer, generator \((1 \ 3 \ 2)\) preslika vektor \(e_1 - e_2\) v \(e_3 - e_1\), kar lahko zapišemo kot \(-(e_1 - e_2) - (e_2 - e_3)\).↩︎

14. Na primer polja kompleksnih števil.↩︎

15. Na primer \(E = \mathbf{C}\) in \(F = \mathbf{Q}\).↩︎

16. Delovanje \(H\) na \(\mathop{\mathrm{fun}}(G,V)\) je konstruirano analogno delovanju grupe na prostoru linearnih preslikav.↩︎

17. Če je \(R\) množica predstavnikov desnih odsekov \(\mathop{\mathrm{im}}\phi\) v \(G\) in če že poznamo vrednosti \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,V)\) na množici \(R\), potem lahko vsako drugo vrednost \(f\) izračunamo kot \(f(x \cdot r) = \rho(y) \cdot f(r)\) za \(x = \phi(y) \in \mathop{\mathrm{im}}\phi\).↩︎

18. Če je \(f \in \mathop{\mathrm{fun}}(G,V)^H\), potem pogoj \(H\)-invariantnosti uporabimo z elementi \(h \in \ker \phi\) in dobimo \(\rho(h) \cdot f(x) = f(x)\), torej je \(f \in V^h\).↩︎

19. Množico funkcij \(\mathop{\mathrm{fun}}(R,V)\) lahko vidimo kot direktno vsoto prostorov \(V\), indeksirano z množico \(R\).↩︎

20. V nadaljevanju bomo spoznali presenetljivo uporabnost tega navidez naključnega dejstva.↩︎

21. Rečemo tudi, da je \(V\) enostavna upodobitev. Te terminologija izhaja iz alternativne obravnave upodobitev kot modulov nad grupnimi algebrami.↩︎

22. Po analogiji s faktorizacijo števil si nerazcepne upodobitve lahko predstavljamo kot praštevila.↩︎

23. Če komplementarna podupodobitev obstaja, potem je enolično določena (do izomorfizma upodobitev), saj je izomorfna kvocientu \(\rho/\tilde\rho\).↩︎

24. Linearna preslikava \(A \colon X \to X\) je projekcija na podprostor \(Y \leq X\), če je \(A^2 = A\) in \(\mathop{\mathrm{im}}A = Y\). Projekcijska spletična je torej spletična, ki je hkrati projekcija na nek podprostor.↩︎

25. V nadaljevanju bomo pokazali, da so upodobitve končnih grup nad poljem karakteristike \(0\) vselej poenostavne.↩︎

26. Ta argument je soroden premisleku o obstoju Hirschove dolžine v policikličnih grupah iz Teorije grup.↩︎

27. Na primer, kadar je upodobitev trivialna, se pravi \(V = \mathbf{1}^k\) za nek \(k > 1\), lahko izberemo poljubno bazo prostora \(V\) in prek nje dobimo nek drug izomorfizem \(V \cong \mathbf{1}^k\).↩︎

28. Vsaka neničelna spletična v \(\hom_G(\pi, \rho)\) je namreč injektivna.↩︎

29. Prostor \(\mathop{\mathrm{MK}}(\pi)\) je enak prostoru, ki ga razpenjajo posplošeni matrični koeficienti upodobitve \(\pi\), zato je neodvisen od izbire baze.↩︎

30. Preslikava \(\Sigma_{\pi, \rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}}\) je injektivna, ker je \(\dim \hom_G(\pi, \rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}) = \deg(\pi) < \infty\).↩︎

31. Temu dejstvu včasih pravimo Burnsideov izrek o nerazcepnosti.↩︎

32. V resnici je sled do skalarja natančno edina taka funkcija.↩︎

33. Konjugiranostni razred elementa \(g \in G\) je množica \(\{ x g x^{-1} \mid x \in G \}\). Grupa \(G\) je disjunktna unija konjugiranostnih razredov svojih elementov. Včasih uporabljamo oznako \(g^x = x^{-1} g x\) in s tem oznako \(g^G\) za konjugiranostni razred elementa \(g\) v \(G\).↩︎

34. Tukaj uporabljamo verjetnostno oznako za povprečno vrednost. Mislimo si, da enakomerno naključno izberemo element \(X\) iz grupe \(G\) in v njem izračunamo vrednost \(f\). Število \(\mathbf{E}(f)\) je pričakovana vrednost slučajne spremenljivke \(f(X)\).↩︎

35. Spomnimo se, da je delovanje \(G\) na \(\hom(V,V)\) dano kot \(g \cdot \Phi = \rho(g) \Phi \rho(g)^{-1}\) za \(g \in G\), \(\Phi \in \hom(V,V)\).↩︎

36. V tem primeru sicer nimamo dostopa do povprečenja v celoti, lahko pa uporabimo delno povprečenje, ki izračuna le vsoto po grupi.↩︎

37. Splošen primer hitro sledi iz tega posebnega. Če je namreč \(F\) karakteristike \(p\), ima prapolje \(\mathbf{F}_p\). Upodobitev v tem primeru obravnavamo nad tem prapoljem.↩︎

38. In najverjetneje taka korespondenca v splošnem ne obstaja. Je pa na voljo za kakšne posebne družine grup, kot bomo spoznali kasneje.↩︎

39. Komutator elementov \(x,y \in G\) je element \([x,y] = x^{-1} y^{-1} x y\). Komutatorska podgrupa grupe \(G\) je \([G,G] = \langle [x,y] \mid x,y \in G \rangle\).↩︎

40. Pri tem fiksne točke permutacije obravnavamo kot cikle dolžine \(1\).↩︎

41. Relaciji sta ortogonalni v smislu tabele karakterjev. Ortonormiranost karakterjev preberemo tako, da fiksiramo vrstice. To drugo relacijo pa preberemo tako, da fiksiramo stolpce. Tej relaciji včasih rečemo druga ortogonalnostna relacija.↩︎

42. Zanimivo je, da smo uspeli določiti tabelo karakterjev, brez da bi eksplicitno poznali vse upodobitve.↩︎

43. V asociativni algebri to izrečemo ponavadi takole: vsak levi ideal v polenostavni algebri je glavni.↩︎

44. Za endomorfizem \(A\) je \(\mathop{\mathrm{LP}}_\lambda(A)\) lastni podprostor \(A\) za lastno vrednost \(\lambda\).↩︎

45. Na podoben način lahko določimo tudi upodobitve same, ne le karakterje.↩︎

46. GAP je programski jezik, ki pride zelo prav pri delu z grupami, saj ima implementiranih veliko standardnih konstrukcij grup in funkcij za delo z njimi. Dostopen je prosto na naslovu https://www.gap-system.org.↩︎

47. Iz argumenta vidimo, da velja celo naslednje. Končna grupa \(G\) je enostavna, če in samo če je vsaka njena netrivialna nerazcepna upodobitev zvesta.↩︎

48. Virtualnih, ker vsebuje tudi negativne kombinacije nerazcepnih kolobarjev, ki ne ustrezajo karakterjem upodobitev.↩︎

49. Algebraično celo število je kompleksno število, ki je ničla moničnega polinoma s celoštevilskimi koeficienti. Množico algebraičnih celih števil označimo z \(\bar{\mathbf{Z}}\). Ni se težko prepričati, da \(\bar{\mathbf{Z}}\) tvori kolobar in da velja \(\mathbf{Q}\cap \bar{\mathbf{Z}} = \mathbf{Z}\).↩︎

50. Diagonalizabilnost sledi iz obravnave Jordanove normalne forme preslikave \(\rho(g)\).↩︎

51. Skalarni produkt na danem prostoru lahko izberemo na mnogo različnih načinov.↩︎

52. Na primer abelove grupe, simetrične grupe, diedrske grupe, splošne linearne grupe, končne enostavne grupe, …↩︎

53. Vsaka končna grupa je zgrajena iz končnih enostavnih grup, te pa sestojijo iz, grobo rečeno, treh neskončnih družin, in sicer cikličnih grup praštevilske moči \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\), alternirajočih grup \(A_n\) in različnih matričnih grup nad končnimi polji, na primer \(\mathop{\mathrm{SL}}_n(\mathbf{F}_p)/Z(\mathop{\mathrm{SL}}_n(\mathbf{F}_p))\). Zgleda družin, ki si jih bomo ogledali, sta torej do neke mere reprezentativna za razumevanje upodobitev nekomutativnih končnih enostavnih grup.↩︎

54. Res, če je \(x = q_1 p_1 = q_2 p_2\), potem je \(q_2^{-1} q_1 = p_2 p_1^{-1} \in P \cap Q = 1\), zato je \(q_1 = q_2\) in \(p_1 = p_2\).↩︎

55. Ker je \(\mathcal{F}(\sigma_{\lambda})\) spletična, je to res invarianten podprostor. Ni pa težko videti, kako elementi grupe zares delujejo; za \(g \in S_n\) element \(\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(g)\) preslika \(\sigma_{\lambda}* f\) v \(\sigma_{\lambda}* (\rho_{\mathop{\mathrm{fun}}}(g) \cdot f)\).↩︎

56. Velja namreč \(\sigma_{\lambda}/n_{\lambda} * \sigma_{\lambda}/n_{\lambda} * f = \sigma_{\lambda}/n_{\lambda} * f\).↩︎

57. Če izbrana baza ni ortogonalna, na njej uporabimo Gram-Schmidtovo ortogonalizacijo.↩︎

58. Na primer, mnogo dela je osredotočenega na Lusztigovo in Jamesovo domnevo.↩︎

59. \(H_{\lambda}(i,j)\) torej sestoji iz tistih celic \((a,b)\), za katere je \(a = i\) in \(b \geq j\) ali \(b = j\) in \(a \geq i\).↩︎

60. Ponovljena ničla bi bila ničla odvoda karakterističnega polinoma, ki pa je linearen in ima vse ničle v \(\mathbf{F}_p\).↩︎

61. Če zamenjamo v zgornji matriki \(b\) z \(-b\), dobimo podobno matriko. To ravno ustreza delovanju \(\sigma\).↩︎

62. Element \(x + \sqrt{\epsilon} y\) deluje na \(\mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon})\) z množenjem z leve. Če to grupo obravnavamo kot vektorski prostor nad \(\mathbf{F}_p\), potem je matrika tega delovanja v bazi \(\{ 1, \sqrt{\epsilon} \}\) ravno ta, ki je prikazana.↩︎

63. Steinbergovo upodobitev dobimo torej tako, da \(\Pi\) podaljšamo s standardno upodobitvijo simetrične grupe \(S_{p+1}\).↩︎

64. Angleško principal series representations.↩︎

65. Angleško cuspidal representation.↩︎

66. Najpreprostejši znan opis je preko Weilove upodobitve (Bushnell-Henniart 2006), ki ostne upodobitve uresniči na določenih podprostorih v \(\mathop{\mathrm{fun}}(\mathbf{F}_p(\sqrt{\epsilon}), \mathbf{C})\).↩︎

67. Računanje teh tabel specifičnih končnih enostavnih grup je zbrano v ATLAS. Ti izračuni so močno pripomogli k dokazu izreka o klasifikaciji končnih enostavnih grup.↩︎

68. Na ta način torej izbiramo aritmetična zaporedja v \(\mathbf{F}_p\) dolžine \(3\).↩︎

69. Argument za to je konceptualno preprost, a poln tehničnih podrobnosti.↩︎

70. Ne bomo preveč natančni glede iteracije. V grobem lahko iz aritmetičnega zaporedja \(P_i\) preidemo na ciklično grupo enake moči (morda ne več praštevilske) in potem ponovimo argument v tej ciklični grupi.↩︎

71. Glej (Peluse 2022).↩︎

72. Lahko bi naredili sicer enak razmislek kot v dokazu Rothovega izreka, a nam od tiste točke, ko harmonična analiza odpove, ne bi obstoj aritmetičnih zaporedij \(P_i\) koristil za reševanje enačbe \(x+y=z\).↩︎

73. Za funkciji \(f, g \colon \mathbf{N}\to \mathbf{R}\) pišemo \(f \ll g\), če obstaja konstanta \(C\), da je \(f(n) \leq C g(n)\) za vse \(n\). V primeru, ko za funkciji \(f,g\) velja hkrati \(f \ll g\) in \(g \ll f\), pišemo \(f = \Theta(g)\). Funkciji \(f\) in \(g\) sta torej asimptotsko do konstante natančno enaki.↩︎

74. Del tega si bomo ogledali nekoliko kasneje.↩︎

75. Za funkciji \(f,g \colon \mathbf{N}\to \mathbf{R}\) pišemo \(f \sim g\), če velja \(\lim_{n \to \infty} f(n)/g(n) = 1\).↩︎

76. Definicija množice \(S\) je enaka kot za primer \(A_n\), dodaten trud je potreben le za oceno njene gostote.↩︎

77. Natančneje, obstajata dve taki neizomorfni grupi.↩︎

78. Velja namreč zveza \(b = y^{-1} a^{-1} y\).↩︎

79. S tem si le slučajni korak stran od rešitve naloge I/3 s tekmovanja IMC 2022.↩︎

80. Če namreč ne razpenjajo celotnega prostora matrik, potem obstaja neka netrivialna linearna kombinacija matričnih koeficientov \(\{ f_{i,j} \mid 1 \leq i, j \leq \deg(\pi) \}\), ki je v vseh elementih \(g \in G\) ničelna. To je protislovje z linearno neodvisnostjo matričnih koeficientov nerazcepne upodobitve \(\pi\).↩︎

81. Za primerjavo porazdelitev ne uporabljamo standardne norme \(||f|| = \langle f, f \rangle^{1/2}\), ampak normo \(||f||_1\). Razlog za to je naslednji. Opazujmo družino simetričnih grup \(S_n\). Potem je \(||U_{A_n} - U_{S_n}||^2 = 1/|S_n|\), kar konvergira k \(0\) za \(n \to \infty\), čeprav sta porazdelitvi očitno različni. Norma \(||\cdot||_1\) nima te pomanjkljivosti; velja \(||U_{A_n} - U_{S_n}||_1 = 1\).↩︎

82. Rečemo tudi, da se slučajni sprehod dobro premeša po času \(t_{mix}(\theta)\). Ta koncept je seveda odvisen od izbire konstante \(\theta\), a ponavadi za \(\theta\) vzamemo kar neko majhno konstanto, na primer \(\theta = 10^{-2}\).↩︎

83. Tako hitra konvergenca je posledica dejstva, da je konjugiranostni razred \(\mathcal{C}\) v \(G_p\) zelo velik, \(\log |\mathcal{C}| \sim \log |G_p|\), in da imamo zelo dobre ocene za \(r_{\pi}(\mathcal{C})\).↩︎

84. Angleško expander family. Ime izhaja iz alternativne karakterizacije teh družin v teoriji grafov.↩︎

85. Ni težko premisliti, da sta ta dva koncepta ekvivalentna. Čas mešanja v vsaki članici družine \(G_i\) je \(O(\log |G_i|)\), če in samo če je družina ekspanzivna.↩︎

86. Če bi želeli obravnavati tudi neskončnorazsežne upodobitve na prostoru \(V\), bi morali to definicijo nekoliko popraviti. Najprej bi morali zahtevati, da vsak element grupe \(G\) deluje kot zvezen linearen operator na \(V\), kar ni avtomatično v neskončnorazsežnih vektorskih prostorih. Za tem bi morali namesto zveznosti preslikave \(\rho\) zahtevati, da je le šibko zvezna, kar pomeni, da je preslikava \(G \times V \to V\), \((g,v) \mapsto \rho(g) \cdot v\) zvezna.↩︎

87. Lahko se celo zgodi, da \(f_N\) ne konvergira v nobeni točki.↩︎

88. Pri tem moramo biti nekoliko previdni, saj opisana konvergenca ne implicira, da vrsta \(f_N\) v vseh točkah konvergira k \(f\), temveč le skoraj povsod.↩︎

89. Podobno kot smo že videli v primeru upodobitev grupe \(\mathbf{R}\). Konkretno za vsak avtomorfizem polja \(\mathbf{C}\) dobimo upodobitev \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C}) \to \mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\), ki aplicira avtomorfizem po členih matrike. Polje \(\mathbf{C}\) ima mnogo divjih avtomorfizmov.↩︎

90. Linearna algebraična grupa je grupa, ki je hkrati množica skupnih ničel nekih polinomov v prostoru \(\mathbf{C}^n\).↩︎

91. Pri \(k = 0\) dobimo trivialno upodobitev.↩︎

92. Ker je polje \(\mathbf{C}\) algebraično zaprto, tukaj obstaja le en torus.↩︎

93. Ta formula je jasna, če matriko \(X\) predstavimo v Jordanovi normalni obliki.↩︎

94. Liejev homomorfizem je torej linearna preslikava \(\phi \colon L_1 \to L_2\), za katero velja \(\phi([x,y]) = [\phi(x), \phi(y)]\) za vsaka \(x,y \in L_1\).↩︎

95. Liejeva spletična med Liejevima upodobitvama \(\phi_1, \phi_2\) Liejeve algebre \(L\) na prostoru \(V\) je linearna preslikava \(\alpha \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) z lastnostjo \(\alpha(\phi_1(x) \cdot v) = \phi_2(x) \cdot \alpha(v)\) za vsaka \(x \in L\), \(v \in V\). Kadar najdemo obrnljivo Liejevo spletično, sta upodobitvi izomorfni.↩︎

96. Liejeva upodobitev \(\phi \colon L \to \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\) je nerazcepna, če prostor \(\mathbf{C}^n\) nima nobenih netrivialnih \(L\)-invariantnih podprostorov.↩︎

97. Vektor \(v\) torej potisnemo navzdol s \(F\).↩︎

98. Vektor \(v_n\) torej potisnemo navzgor z \(E\).↩︎

99. Vsaki dve izbiri delilnih točk imata namreč skupno pofinitev. Ta sklep je podoben kot pri definiciji Riemannovega integrala.↩︎

100. To je analogno temu, da na kompleksna števila \(\mathbf{C}\) gledamo kot na \(\mathbf{R}^2\).↩︎

101. Opazovali bi torej Liejeve homomorfizme \(\mathop{\mathrm{\mathfrak{sl}}}_2(\mathbf{C}) \to \mathop{\mathrm{\mathfrak{gl}}}_n(\mathbf{C})\), ki so le \(\mathbf{R}\)-linearni.↩︎

102. Grupa \(\mathop{\mathrm{SO}}_3(\mathbf{R})\) ni enostavno povezana. Homeomorfna je projektivnemu prostoru \(\mathbf{R}P^3\).↩︎

103. Poseben primer tega fenomena smo videli v razdelku o upodobitvah grupe \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\), kjer smo dokazali, da je vsaka zvezna upodobitev grupe \(\mathbf{R}\) odvedljiva.↩︎

104. Rečemo, da je grupa \(\mathop{\mathrm{PSL}}_2(\mathbf{Z})\) prosti produkt podgrup \(\langle a \rangle = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) in \(\langle b \rangle = \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\).↩︎

105. Če nek element lahko zapišemo v želeni obliki na dva načina, potem vse črke prenesemo na eno stran enakosti in s tem tudi \(1\) zapišemo na netrivialen način v želeni obliki.↩︎

106. To je analog razširjanja lokalnega homomorfizma, ki smo ga videli pri grupi \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\). Tam nismo imeli enoličnosti zapisa kot tukaj, zato smo se morali potruditi z dokazovanjem dobre definiranosti razširitve homomorfizma z \(U\) na ves \(\mathop{\mathrm{SL}}_2(\mathbf{C})\). Tukaj to dobimo zastonj.↩︎

107. Para matrik \((X,Y)\) in \((X', Y')\) sta torej ekvivalentna, če in samo če za neko matriko \(A \in \mathop{\mathrm{GL}}_n(\mathbf{C})\) velja \((X,Y) = A \cdot (X', Y')\).↩︎

108. Obravnava je analogna razumevanju konjugiranostnih razredov v končni grupi \(\mathop{\mathrm{GL}}_2(\mathbf{F}_p)\), le da je tu nekoliko preprostejša, ker ni nerazcepnega torusa.↩︎

109. Rečemo, da je grupa \(\mathop{\mathrm{SL}}_3(\mathbf{Z})\) dana s prezentacijo z generatorji \(x,y,z\) in relacijami, ki jih podajajo te enakosti. Glej Teorijo grup za podrobnosti glede te konstrukcije in več zgledov.↩︎

110. Angleško congruence subgroup property.↩︎

111. Topologija na \(\mathbf{Z}_p\) je nekoliko neobičajna. Dobimo namreč popolnoma nepovezan topološki prostor. Predstavljamo si ga lahko kot Cantorjevo množico, kot je prikazano tukaj.↩︎

112. Tej lastnosti pravimo brez majhnih podgrup, angleško no small subgroups.↩︎